E578 − Des p'tits tours et puis s'en va Problème proposé par Augustin Genoud
Q₁ Quatre euros identiques sont alignés côte à côte sur un support horizontal. La pièce de gauche va rouler sans glisser par-dessus les autres pour venir se placer sur le support, à droite de la dernière pièce.
Combien de tours sur elle-même a-t-elle effectués ?
Note : on donnera la réponse en nombre entier de tours, plus, éventuellement, une fraction de tours.
Q₂ Il y a n euros identiques alignés côte à côte. Comme précédemment la pièce de gauche roule sans glisser par-dessus les autres et effectue exactement 2018 tours sur elle-même pour se placer à droite de la dernière pièce. Déterminer n.
Solution par Patrick Gordon
Q₁
Quand une pièce roule sans glisser sur une autre, un point de la pièce mobile tourne d'un angle double de celui décrit sur la pièce fixe, comme le montre la figure ci-dessous.
En effet, les arcs T"T' et T"T sont égaux, donc le triangle PA'B est isocèle et les droites AT et A'T' forment angle double de celui TT" décrit sur la pièce fixe.
Numérotons les pièces de gauche à droite. La pièce 1 aura parcouru un arc égal au double de la somme des arcs touchés sur les 3 autres, soit :
- sur la 2, 2/3 de tour - sur la 3, 1/3 de tour - sur la 4, 2/3 de tour.
Soit au total 5/3 de tour.
Q₂
La pièce 1 a parcouru :
- 2 fois 2/3 de tour - (n – 3) fois 1/3 de tour.
Soit au total (4 + n – 3) / 3 = 2018 tours.
Donc n = 3 × 2018 – 1 = 6053.
