E578 − Des p'tits tours et puis s'en va [** à la main]
Problème proposé par Augustin Genoud
Q₁ Quatre euros identiques sont alignés côte à côte sur un support horizontal. La pièce de gauche va rouler sans glisser par dessus les autres pour venir se placer sur le support, à droite de la dernière pièce.
Combien de tours sur elle-même a-t-elle effectués ?
Note : on donnera la réponse en nombre entier de tours, plus, éventuellement, une fraction de tours.
Q₂ Il y a n euros identiques alignés côte à côte. Comme précédemment la pièce de gauche roule sans glisser par dessus les autres et effectue exactement 2018 tours sur elle-même pour se placer à droite de la dernière pièce. Déterminer n.
Solution proposée par Maurice Bauval
Q1)
Le centre de la pièce de gauche décrit trois arcs de cercle AA', A'A'', A''A''' de 120°, 60°, 120°.
La base et la roulante ont le même rayon : La pièce de gauche tourne de 240°+120°+240° = 600° = 1 tour + 2/3 de tour.
Q2) Si la pièce de gauche doit franchir quatre pièces au lieu de trois, sa rotation sur elle même augmente de 1/3 de tour. En tout elle tourne de 2 tours.
Si le nombre de pièces augmente de 3, le nombre de tours augmente de 1.
Nombre de pièces 5 8 11 3k-1 6053
Nombre de tours 2 3 4 k 2018
Pour 2018 tours le nombre n de pièces est 2018*3 – 1 = 6053.
