E578. Des p'tits tours et puis s'en va **
Problème proposé par Augustin Genoud
Q1 Quatre euros identiques sont alignés côte à côte sur un support
horizontal. La pièce de gauche va rouler sans glisser par dessus les autres pour venir se placer sur le support, à droite de la dernière pièce. Combien de tours sur elle-même a-t-elle effectués ?
Note : on donnera la réponse en nombre entier de tours, plus, éventuellement, une fraction de tours.
Q2 Il y a n euros identiques alignés côte à côte. Comme précédemment la pièce de gauche roule sans glisser par dessus les autres et effectue
exactement 2018 tours sur elle-même pour se placer à droite de la dernière pièce. Déterminer n.
Solution proposée par Jean Nicot
La pièce C1 touche la première pièce P1 en A. Elle roule pour arriver en C2, touchant P1 en B et P2 en C. L’arc AB sur P1 est égal à l’arc B0A sur C1 qui se retrouve en A’B quand C1 arrive en C2. Cet arc mesure 120°.
Pour aller de C2 à C3, l’arc CD0 sur C2 parcourt CD sur P2 et se retrouve enD0D sur C3. Cet arc mesure 60°.
Pour franchir n Pièces P1 à Pn, il faut utiliser au début un arc de 120°, puis n-2 arcs de 60° et terminer avec un arc de 120°, soit au total 240°+(n-2)60°=(n+2)60°
Q1 pour n=4 (4+2)60°= 360°= 1 tour complet
D2 pour 2018 tours, (n+2)60= 2048*(6*60°) et n=6*2018 - 2 n=12106
