E578 Des p'tits tours et puis s'en va
Problème proposé par Augustin Genoud
Q1 Quatre euros identiques sont alignés côte à côte sur un support horizontal. La pièce de gauche va rouler sans glisser par dessus les autres pour venir se placer sur le support, à droite de la dernière pièce. Combien de tours sur elle-même a-t-elle effectués ?
Note : on donnera la réponse en nombre entier de tours, plus, éventuellement, une fraction de tours.
Q2 Il y a n euros identiques alignés côte à côte. Comme précédemment la pièce de gauche roule sans glisser par dessus les autres et effectue exactement 2018 tours sur elle-même pour se placer à droite de la dernière pièce. Déterminer n.
Solution proposée par Thérèse Eveilleau
Q1 et Q2
Q1,
n = 4. La pièce P₁ passant par-dessus trois autres pièces va tourner de 5*120 = 600°, soit 5/3 de tour.
Q2,
La pièce P₁ passant par-dessus n −1 autres pièces effectue 2018 tours.
D'où l'équation 2018 *360° = (n + 1) *120°.
Il en résulte n = 3*2018 − 1 = 6053 pièces.
Pour mieux visualiser j’ai réalisé une petite simulation ICI :
http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/E578.html
Avec deux pièces P₁ et P₂, la première roulant autour de la seconde, on vérifie que P₁ fait un tour complet de 360° quand le point de contact de P₁ avec P₂ n'a parcouru qu'un demi-cercle.
Pour avoir le nombre de tours effectués par P₁ roulant sur n − 1 pièces, il convient donc de multiplier par 2 le parcours exprimé en degrés du point de contact de P₁ avec chacune des pièces P₂,P₃,....,Pn-1 , ce qui donne:
2 fois 120° pour le roulement de P₁ sur P₂ puis 2(n− 3) fois 60° pour le roulement de P₁ sur les pièces intermédiaires et enfin 2 fois 120° pour le roulement de P₁ sur Pn-1
Ainsi, avec n pièces au total dont la première P₁ qui roule sur les n − 1 autres, P₁ tourne de : 240° + 2*(n − 3)*60° +240° = (n + 1)*120°
