E578 − Des p'tits tours et puis s'en va [** à la main]
Problème proposé par Augustin Genoud
Q₁ Quatre euros identiques sont alignés côte à côte sur un support horizontal. La pièce de gauche va rouler sans glisser par dessus les autres pour venir se placer sur le support, à droite de la dernière pièce.
Combien de tours sur elle-même a-t-elle effectués ?
Note : on donnera la réponse en nombre entier de tours, plus, éventuellement, une fraction de tours.
Q₂ Il y a n euros identiques alignés côte à côte. Comme précédemment la pièce de gauche roule sans glisser par dessus les autres et effectue exactement 2018 tours sur elle-même pour se placer à droite de la dernière pièce. Déterminer n.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q₁ 1 tour 2/3
On prend comme unité le rayon d'une pièce.
Avec 2 pièces, le centre de la pièce initialement à gauche parcourt 2pi*2*(1/2)=2pi (1 tour).
Avec 3 pièces, il parcourt 2pi*2*(1/3+1/3)=2pi*4/3 (1 tour 1/3).
Avec 4 pièces, il parcourt 2pi*2*(1/3+1/6+1/3)=2pi*(1+2/3) (1 tour 2/3).
Q₂ 6053
On généralise aisément avec n pièces: le centre de la pièce initialement à gauche parcourt 2pi*2*(1/3+(n-3)*1/6+1/3)=2pi*(n+1)/3 ((n+1)/3 tours ; si n+1=3m+r avec 0=<r<3, alors m tours r/3)
Ainsi n=3*2018-1.
