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E578 Des p’tits tours et puis s’en va
Q1Quatre euros identiques sont alignés côte à côte sur un support horizontal. La pièce de gauche va rouler sans glisser par dessus les autres pour venir se placer sur le support, à droite de la der- nière pièce. Combien de tours sur elle-même a-t-elle effectués ?
Note : on donnera la réponse en nombre entier de tours, plus, éventuellement, une fraction de tours.
Q2 Il y a n euros identiques alignés côte à côte. Comme précédemment la pièce de gauche roule sans glisser par dessus les autres et effectue exactement 2018 tours sur elle-même pour se placer à droite de la dernière pièce. Déterminer n.
Solutionsd’Augustin Genoud
Lorsqu’un disque (pièce en mouvement) roule sans glisser autour d’un objet fixe de forme quel- conque, le nombre de tours effectués par la pièce en mouvement est défini ainsi :
Nombre de tours =
mouvement en
pièce la de Périmètre
mouvement en
pièce la de centre le par parcourue Distance
Soit r le rayon des euros.
Q1. Le centre de la pièce qui est en mouvement bouge avec un rayon de 2r et sur un total de 300 degrés.
Distance parcourue par le centre de la pièce =
360 r 300 2
2 (a)
Périmètre de la pièce = 2 r (b).
Nombre de tours =
360 300 2 b
a =1 tour et 2/3 d’un tour.
Q2.
S’il y a 1 pièce fixe, le nombre de tours est
r 2
360 r 180 2 2
= 1.
S’il y a 2 pièces fixes, le nombre de tours est
3 4 r
2 360 r 240 2
2
.
120°
60° 120°
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S’il y a 3 pièces fixes, le nombre de tours est
3 5 r
2 360 r 300 2
2
.
S’il y a 4 pièces fixes, le nombre de tours est 2. r
2 360 r 360 2
2
S’il y a x pièces fixes, le nombre de tours est . 3
2 x
Pour trouver le nombre de pièces fixes correspondant à 2018 tours, il faut résoudre l’équation sui- vante : 2018.
3 2 x D’où x = 6052.
En ajoutant la pièce en mouvement, on obtient la solution :6053 euros.
