E578 − Des p'tits tours et puis s'en va Problème proposé par Augustin Genoud
Q₁ Quatre euros identiques sont alignés côte à côte sur un support horizontal. La pièce de gauche va rouler sans glisser par-dessus les autres pour venir se placer sur le support, à droite de la dernière pièce.
Combien de tours sur elle-même a-t-elle effectués ?
Note : on donnera la réponse en nombre entier de tours, plus, éventuellement, une fraction de tours.
Q₂ Il y a n euros identiques alignés côte à côte. Comme précédemment la pièce de gauche roule sans glisser par-dessus les autres et effectue exactement 2018 tours sur elle-même pour se placer à droite de la dernière pièce. Déterminer n.
Solution proposée par Jean-Louis Margot
Q₁ Avec deux pièces quelconques P₁ et P₂ de mêmes dimensions, la première P₁ roulant autour de la seconde P₂, on vérifie que P₁ fait un tour complet de 360° quand le point de contact de P₁ avec P₂ n'a parcouru qu'un demi-cercle.
Dans ces conditions le roulement de P₁ autour des pièces P₂,P₃ et P₄ entraine une rotation de: 2*120° (P₁ roulant sur P₂) + 2*60° (P₁ roulant sur P₃) 2*120° (P₁ roulant sur P₄) soit au total 240+60+60+240 = 600° qui représentent 5/3 tour
Q₂
Il résulte de ce qui précède que la pièce P₁ tourne de 240° + 2*(n − 3)*60° +240° = (n + 1)*120°
D'où l'équation n + 1 = 2018 * 360 / 120 qui donne n = 6053 pièces
