G247 – Le mec(c)ano de la géométrie du triangle Solution proposée par J. Guitonneau
Il y a deux réponses possibles : N=40 et k=10
N=90 et k=23
La seconde paraît la plus plausible si l’on souhaite construire une maquette complète de la Tour Eiffel.
Il nous faut calculer le nombre de triangles que l'on peut faire avec des pièces de longueur entières 2,...,n.
On considère les triangles vrais dont les trois longueurs de taille strictement croissantes L1, L2, L3 sont telles que L3 < L1 + L2.
On constate tout de suite que la pièce de longueur 1 ne serait d'aucune utilité.
On va calculer ce nombre de triangles par récurrence.
TR(4)=1 (2,3,4)
TR(5)=3 (2,3,4) ; (2;4;5) et (3;4;5) TR(6)=7
...
Calculons le nombre de triangles S supplémentaires quand on rajoute la pièce de longueur 2p+1 à l'ensemble initial qui va jusqu'à la pièce 2p.
Ces triangles comporteront deux pièces de longueur a et b >a toutes deux de longueur <=2p et la lpièce dre longueur 2p+1.
Pour a=2 on ne peut avoir que b=2p soit une possibilité pour a=3 on peut avoir b=2p ou b =2p-1 soit 2 possibilités ...
pour a= p on peut avoir b=2p,2p-1,...,p+2 soit p-1 posiibilités
Puis pour a= de p+1 à 2p-1, b peut prendre toutes les valeurs supérieures à a et inférieures ou égales à 2p soit successivement
p-1, p-2, ...,,1 valeurs différentes
Soit au total 2* Somme k de 1 à p-1 soit S= p*(p-1) triangles supplémentaires.
Un calcul similaire pour rajouter une pièce de longueur paire 2p+2 à l'ensemble de pièces qui va jusqu'à 2p+1 on trouve qu'on peut rajouter p² triangles supplémentaires
Tout ceci nous permet de trouver en sommant le nombre de triangles qui peuvent être construits avec l'ensemble des pièces de taille <=à N, soitpour N impair (N-1)*(N-3)*(2N- 1)/24 et pour N pair N*(N-2)*(2N-5)/24.
On vérifie alors aisément (sur tableur) que pour N=40 on trouve 4750 triangles et si on rajoute 10 pièces on trouve 9500 Triangles
Le même tableur donne également la solution n=90 et k= 23 pour un total de 115500 triangles.
