A327. Les nombres prospères
Par convention un nombre entier naturelnest appelé « prospère » si tous les exposants de ses facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à 2.
Démontrer qu’il existe une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
Solution de Claude Felloneau
Il suffit, par exemple, de considérer les paires©
x2n−1,xn2ª
oùnest un entier naturel non nul et xnest la partie entière de¡
3+2p 2¢n
dansZ£p 2¤
. En effet :
– Il est clair quexn>1 etx2nest prospère.
– Il existe un entier naturelyntel que xn+2p
2yn=
³ 3+2p
2´n
et xn−2p 2yn=
³ 3−2p
2´n
. On a alors
xn2−8yn2= h³
3+2p 2´ ³
3−2p 2´in
=1n=1.
D’oùx2n−1=8yn2=23yn2est également prospère.
– De plus,xn+1+2p
2yn+1=¡ 3+2p
2¢ ¡
xn+2p 2yn¢
doncxn+1=3xn+8yn>xn. Ainsi, lesxnsont tous différents.
