1S Correction Fiche TP 16 2015-2016
La trajectoire d’un mobile est portée par la courbe représentative dans un repère orthonormal de la fonction f définie sur ]0; +∞[ par
f(x) = 1 + 1 x
Soitpl’abscisse strictement positive du pointP correspondant au passage du mobile enA.f est dérivable enpet l’on doit avoir :
f′(p)(3−p) +f(p) = 0⇔ −1
p2 ×(3−p) + 1 +1
p= 0⇔ −3 p2 +2
p+ 1 = 0⇔p2+ 2p−3 = 0 La solution strictement positive estp= 1 et le point recherché a pour coordonnée (1; 2).
bc bc
bc bcbc
A 3 1
2 P
1
• • •
B O N U S : Soit λ∈R+∗. Rechercher en quel point le mobile doit quitter sa trajectoire pour passer par le point B(λ; 0).
Le raisonnement est le même, il suffit d’introduire le paramètreλ:
La tangente enP(p;f(p)) passe parB si, et seulement si,f′(p)(λ−p) +f(p) = 0⇔ −1
p2×(λ−p) + 1 +1 p = 0⇔
−λ p2+2
p+ 1 = 0⇔p2+ 2p−λ= 0
∆ = b2 −4ac = 4 + 4λ et comme λ > 0,∆ > 0. La solution strictement positive est p = −2 +√ 4 + 4λ
2 =
−1 +√ 1 +λ.
En résumé, pour toutλ >0, le mobile passe parB(λ; 0) si, et seulement si, il est lâché enP
−1 +√
1 +λ; 1 + 1
√1 +λ−1
. Remarque 1 Bien évidemment,λ= 3 donne le pointP(1; 2).
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