est une puissance de 2, soit : 2p

A550 – Les puissances de 2 à la fête

Q1 : Trouver toutes les puissances de 2 qui sont encore des puissances de 2 lorsqu’on supprime

a) le premier chiffre de gauche. Nota : 4096 devient 96.

b) le dernier chiffre de droite.

Q2 : Existe-t-il une puissance de 2 telle qu’en réarrangeant ses chiffres on obtienne une autre puissance de 2 ?

Nota : les entiers commençant par un zéro sont exclus dans les réarrangements de la puissance de 2.

Solution proposée par Patrick Gordon Q1

On considère le nombre N = 2ⁿ écrit en base dix : "abc…z".

Q1 a)

 Supposons tout d'abord b ≠ 0

On demande à quelle condition N' = "bc…z" est une puissance de 2, soit : 2^p.

Soit k le nombre de chiffres de N' = 2^p (et donc k+1 le nombre de chiffres de N= 2ⁿ).

À toute valeur de p correspond une "longueur" k de 2^p (nombre de ses chiffres) définie par : 1) 10^k-1 ≤ 2^p < 10^k

ce qui peut s'écrire, au besoin : k = ENT [p log10(2)] +1

Par définition : N' = N – a 10^k et, par conséquent, on cherche n, p et k tels que : 2^p = 2ⁿ – a 10^k

soit encore (car naturellement n > p) : 2) 2^p (2^n-p –1) = a 10^k

Selon que a (qui est compris entre 1 et 9) est ou non divisible par 2 ou 5, la relation (2) prendra des formes différentes.

 si a n'est divisible ni par 2 ni par 5 (a = 1, 3, 7, 9) La relation (2) s'écrit :

3) 2^p-k (2^n-p – 1) = a 5^k

Or ni a ni 5 ne sont divisibles par 2^p-k, donc p = k. Mais k est la "longueur" de 2^p et il existe une seule valeur de p qui satisfasse cette condition, c'est p = 1 (2¹ = 2 est un nombre à 1 chiffre). En reportant p = k = 1 dans (3), il vient :

(2^n-1 – 1) = a × 5

Mais a ne peut prendre par hypothèse que les valeurs 1, 3, 7, 9, ce qui ne donne qu'une solution pour a = 3 et n = 5.

On a bien, en effet, la solution :

N = 2⁵ = 32; N' = 2¹ = 2

 si a = 5

La relation (2) s'écrit :

4) 2^p-k (2^n-p – 1) = 5^k+1

Or 5 n'est pas divisible par 2^p-k, donc p = k. Mais k est la "longueur" de 2^p et donc, comme au cas ci-dessus : p = k = 1, ce qui, en reportant dans (4), donne :

(2^n-1 – 1) = 5²

Mais 26 n'est pas une puissance de 2 et il n'y a donc pas de solution pour a = 5.

 si a est une puissance de 2 (a = 2, 4, 8)

On procède de même que pour a = 5, à savoir que l'on divisera les deux membres de (2) par 2 à la puissance k + 1, 2 ou 3, selon que a = 2, 4, 8.

On trouvera respectivement les conditions :

k = p–1, d'où p = 2, k = 1

k = p–2, d'où p = 3, k = 1 ou p = 4, k = 2 k = p–3, d'où p = 5, k = 2

dont aucune ne donne de solutions car il faudrait que (2^n-p – 1) = 5^k avec k = 1 ou 2; or ni 6 ni 26 ne sont des puissances de 2

 si a = 6

En procédant comme ci-dessus, on trouve une unique solution : p =2, k = 1, n = 6 qui correspond bien à la solution :

N = 2⁶ = 64; N' = 2² = 4 Nous avons ainsi épuisé le cas b ≠ 0.

 Supposons maintenant b = 0.

Cette fois, N' = 2^p ne s'écrit plus : "bc…z" car b et d'éventuels suivants sont nuls. N devra donc être écrit : "a00…0tu…z" et N' s'écrira : "tu…z"

En notant q le nombre de zéros qui suivent a, et toujours k le nombre de chiffres de N' = 2^p (soit au total q + k + 1 chiffres pour N), on a :

N = 2ⁿ = a 10^k+q + 2^p ce qui s'écrit encore :

5) 2^p (2^n-p –1) = a 10^k+q

Formellement, cette relation est la même que (2) avec k' = k + q. Attention toutefois : c'est bien k, et non k', qui est le nombre de chiffres de 2^p.

Cela dit, la même discussion que dans le cas b ≠ 0 peut être faite sur la divisibilité de a par 2 et 5 et donc les mêmes divisions des deux membres par 5 et/ou des puissances de 2.

Reprenons donc cette discussion.

 si a n'est divisible ni par 2 ni par 5 (a = 1, 3, 7, 9) La relation (5) s'écrit :

6) 2^p-k-q (2^n-p – 1) = a 5^k+q

Ni a ni 5 ne sont divisibles par 2, donc 2^p-k-q = 1, donc p = k + q.

Mais k est le nombre de chiffres de 2^p et (k + q) = p, est le nombre de chiffres moins 1 de 2ⁿ.

On peut donc dresser un tableau qui, pour tout n (colonne 1), donnera (colonne 2) : 2ⁿ puis (colonne 3) : p = nombre de chiffres de 2ⁿ moins 1. Dans une quatrième colonne, on calculera 2^p, dans une cinquième : k, nombre de chiffres de 2^p, d'où (colonne 6) : q = p – k.

Restera ensuite à voir pour quelles valeurs de n, p, k, q on a : 7) (2^n-p – 1) = a 5^p

On calculera donc (2^n-p – 1) dans une septième colonne.

Voici un extrait du tableau :

n 2ⁿ p 2^p k q (2^n-p – 1)

1 2 0 1 1 -1 1

2 4 0 1 1 -1 3

3 8 0 1 1 -1 7

4 16 1 2 1 0 7

5 32 1 2 1 0 15

6 64 1 2 1 0 31

7 128 2 4 1 1 31

8 256 2 4 1 1 63

9 512 2 4 1 1 127

10 1 024 3 8 1 2 127 11 2 048 3 8 1 2 255 12 4 096 3 8 1 2 511 13 8 192 3 8 1 2 1 023 14 16 384 4 16 2 2 1 023

15 32 768 4 16 2 2 2 047 16 65 536 4 16 2 2 4 095

On n'y trouve que la solution n = 5, p = 1, a = 3 avec 0 zéro (q = 0), que nous connaissions déjà. En poussant les calculs jusqu'à n = 50 (limite pratique du tableur : N = 2⁵⁰ est un nombre à 16 chiffres), on n'en trouve pas d'autre. Il est donc raisonnable de penser que le cas b = 0 n'apporte pas de nouvelles solutions pour a = 1, 3, 7, 9.

 si a = 5

La relation (5) s'écrit :

8) 2^p-k-q (2^n-p – 1) = 5^k+q+1

Les raisonnements et les calculs sur n, p, k, q sont les mêmes qu'au cas précédent jusqu'à la colonne 6. Ensuite, il faut voir pour quelles valeurs de n, p, k, q on a :

9) (2^n-p – 1) = 5^p+1

Le même tableau peut être utilisé tel quel et, cette fois, il n'y a pas de solution du tout.

 si a est une puissance de 2 (a = 2, 4, 8) Soit a = 2^ (avec  = 1, 2, 3).

La relation (5) s'écrit

10) 2^p (2^n-p –1) = 2^ 10^k+q

soit, en divisant les deux membres de (5) par 2 à la puissance k + q + :

11) 2^p-k-q- (2^n-p –1) = 5^k+q

Comme 5 n'est pas divisible par 2, on a 2^p-k-q- = 1, donc p = k+ q+ , ou encore :q = p–k–.

Mais le problème est toujours d'examiner pour quelles valeurs de n, p, k, q,  on a : 12) (2^n-p – 1) = 5^k+q

Le même tableau peut être utilisé tel quel et l'on constate qu'il ne comporte pas de puissance de 5 en colonne 7 – jusqu'à la limite pratique du tableur (n = 50) – et ne donne donc pas de nouvelle solution pour des valeurs "raisonnables" de n.

 si a = 6

La relation (5) s'écrit, après division des deux membres par 2 à la puissance k + q + :

13) 2^p-k-q-1 (2^n-p – 1) = 3 × 5^k+q

Comme ni 3 ni 5 ne sont divisibles par 2, on a 2^p-k-q- = 1, donc p = k + q + , ou encore :q = p – k – .

Mais le problème est toujours d'examiner pour quelles valeurs de n, p, k, q,  on a :

14) (2^n-p – 1) = 3 × 5^k+q

Le même tableau peut être utilisé tel quel et l'on constate qu'il ne comporte pas en colonne 7 d'autre puissance de 5 multipliée par 3 que 15 – jusqu'à la limite pratique du tableur (n = 50) – et ne donne donc pas de nouvelle solution pour des valeurs "raisonnables" de n.

Conclusion

Les deux seules solutions à la question Q1 a) sont 32 et 64.

Q1 b)

On considère cette fois encore le nombre N = 2ⁿ écrit en base dix : "abc…yz".

On demande à quelle condition N' = "ac…y" est une puissance de 2, soit : 2^p. Si l'on note z le chiffre de droite, on a :

N' = (N – z) / 10.

On veut donc que : 10 × 2^p = 2ⁿ – z Soit encore :

15) z = 2ⁿ – 5 × 2^p+1 = 2^p+1 (2^n-p-1 – 5)

Traitons tout d'abord le cas singulier p = 0, qui correspond à N = 16 et N' = 1 = 2⁰

Pour p ≥ 1, donc z = 4 ou 8, la relation (1) impose :

 ou bien p = 1, z = 4 et (2^n-p-1 – 5) = 1, ce qui est impossible car 6 n'est pas une puissance de 2

 ou bien p = 1, z = 8 et (2^n-p-1 – 5) = 2, ce qui est impossible car 7 n'est pas une puissance de 2

 ou bien p = 2, z = 8 et (2^n-p-1 – 5) = 1, ce qui est impossible car 6 n'est pas une puissance de 2.

Il n'y a donc pas d'autre solution que le cas singulier p = 0, qui correspond à N = 16 et N' = 1 = 2⁰

Q2

Compte tenu du nota, les solutions sont à rechercher au sein de chacune des tranches dans lesquelles les puissances de 2 ont un nombre de chiffres donné. La taille d'une tranche ne peut être que de 3 ou 4 puissances de 2 consécutives (on peut même préciser que ces tailles varient cycliquement : 4 3 3, 4 3 3, etc.).

L'examen peut donc se faire aisément "à l'œil nu". Jusqu'à la limite pratique du tableur (n = 50), on ne trouve pas de solution.