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a^2 + b^2 + c^2 = k (abc) avec a, b, c et k entiers

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Academic year: 2022

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(1)

A444. Une donation-partage

Problème proposé par Raymond Bloch

Je possède trois champs de forme carrée dont les côtés ont pour dimensions en hectomètres : a,b et 1 avec a et b entiers distincts > 1. Je prépare une donation-partage de ces champs au profit de mes enfants de sorte que chacun d'eux reçoive exactement des terres d'une surface égale à a*b hectares.

Combien ai-je d'enfants? Justifiez votre réponse.

Pour les plus courageux: les trois champs carrés ont pour côtés les entiers a,b et c.La donation-partage se fait sur la base d'une surface égale à a*b*c hectares par enfant. Combien y a-t-il d'enfants?

Le raccourci est un peu facile, mais cela revient à résoudre :

a^2 + b^2 + c^2 = k (abc) avec a, b, c et k entiers

Ce type d'équation (question 1) correspond à l'équation de Markof (avec c=1) et à ses triplets.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Markov

Donc il a 3 enfants

Pour le prolongement, il a aussi 3 enfants.

Par contre, la démonstration , il faut aller chercher du côté de l'équation de Hurwitz (-Markov)

Un lien vers la démonstration complète : (le cas k=1 ne permet pas des nombres distincts)

http://www.normalesup.org/~rose/maths/hurwitz/hurwitz.pdf

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