A362 – Les réversibles [***à la main]
Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche. Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q₁ Déterminer les valeurs possibles de k
Q₂ Pour chacune des valeurs de k précédemment determinées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
A) N contient un seul chiffre alors 1,2,3,4,5,6,7,8,9 sont des palindromes . k = 1 B) N contient 2 chiffres ; on a l'égalité suivante avec a < b
k x ( 10a + b ) = 10b + a ---> kb - a = 10b - 10ka
a) k = 2 ; 2b - a = 10b - 20a --> 8b = 19a --> pas de solutions entières pour a & b b) k = 3 ; 3b - a = 10b - 30a --> 7b = 29a --> pas de solutions entières pour a & b c) k = 4 ; 4b - a = 10b - 40a --> 6b = 39a --> pas de solutions entières pour a & b d) k = 5 ; 5b - a = 10b - 50a --> 5b = 49a --> pas de solutions entières pour a & b e) k = 6 ; 6b - a = 10b - 60a --> 4b = 59a --> pas de solutions entières pour a & b f) k = 7 ; 7b - a = 10b - 70a --> 3b = 69a --> b = 23a --> pas de solution car a & b < 10 g) k = 8 ; 8b - a = 10b - 80a --> 2b = 79a --> pas de solutions entières pour a & b h) k = 9 ; 9b - a = 10b - 90a --> b = 89a --> pas de solution car a & b < 10
conclusion , aucun nombre à 2 chiffres k x ab n' est réversible avec ba
C) N contient 3 chiffres ; on a l'égalité suivante :
k x [ 10²a + 10b + c ] = 10²c + 10b + a ( k x abc = cab ) , c > a ; cela donne au final :
(k.10² - 1) x a + (k - 1) x 10.b - (10² - k) x c = 0
a) k = 2 --> 98c - 199a = 10b --> 98c - 199a doit avoir 0 pour unité ; 3 cas possibles avec toujours a < c
c = 6 et a = 2 --> b = 19 c = 7 et a = 4 --> b < 0
c = 9 et a = 8 --> b < 0 ; il n'y a pas de solution.
b) k = 3 --> 97c - 299a = 20b doit avoir 0 pour unité ; il n'existe qu'un seul cas ou b > 0 ; b = 19 , il n'y a pas de solution
c) k = 4 --> 96c - 399a = 30b doit avoir 0 pour unité il n'y a plus de solution pour avoir b > 0 d) k > 4 --> plus de solution .
conclusion : aucun nombre à 3 chiffres k x abc n'est réversible avec cba
D) N contient 4 chiffres ; on a l'égalité suivante :
k x [10³a + 10²b + 10c + d] = 10³d + 10²c + 10b + a donne au final :
(10³k - 1).a - (10³ - k).d = (10² - 10k).c - (10²k - 10).b ; quelque soit b , c & k , le second membre est de la forme 10n.
a) k = 2 , 1999a - 998d = 80c - 190b = + ou - 10n M sera la valeur du premier membre et devra être de la forme 10n
_ a = 1 & d = 2 --> M = 3 _ a = 1 & d = 3 --> M = -995
_ a = 2 & d = 4 --> M = 6 _ a = 3 & d = 6 --> M = 9 _ a = 3 & d = 7 --> M = -989 _ a = 4 & d = 8 --> M = 12
_ a = 4 & d = 9 --> M = -986 --> pas de solution avec k = 2
b) k = 3 , 2999a - 997d = 70c - 290b = + ou - 10n _a = 1 & d = 3 --> M = 8
_a = 1 & d = 4 --> M = -989 _a = 1 & d = 5 --> M = -1986 _a = 2 & d = 6 --> M = 16 _a = 2 & d = 7 --> M = -981 _a = 2 & d = 8 --> M = -1978
_a = 3 & d = 9 --> M = 24 --> pas de solution avec k = 3
c) k = 4 , 3999a - 996d = 60c - 390b = + ou - 10n _a = 1 & d = 4 --> M = 15
_a = 1 & d = 5 --> M = -981 _a = 1 & d = 6 --> M = -1977 _a = 1 & d = 7 --> M = -2973
_a = 2 & d = 8 --> M = 30 --> 60c - 390b = 30 --> c = 7 & b = 1 --> a b c d = 2178 _a = 2 & d = 9 --> M = -966
une seule solution avec k = 4
d) k = 5 , 4999a - 995d = 50c - 490b = + ou - 10n _a = 1 & d = 5 --> M = 24
_a = 1 & d = 6 --> M = -971 _a = 1 & d = 7 --> M = -1966 _a = 1 & d = 8 --> M = -2961
_a = 1 & d = 9 --> M = -3956 ---> pas de solution avec k = 5
e) k = 6 , 5999a - 994d = 40c - 590b = + ou - 10n _a = 1 & d = 6 --> M = 35
_a = 1 & d = 7 --> M = -959 _a = 1 & d = 8 --> M = -1953
_a = 1 & d = 9 --> M = -2947 --> pas de solution avec k = 6
f) k = 7 , 6999a - 993d = 30c - 690b = + ou - 10n _a = 1 & d = 7 --> M = 48
_a = 1 & d = 8 --> M = -945
_a = 1 & d = 9 --> M = -1938 --> pas de solution avec k = 7
g) k = 8 , 7999a - 992d = 20c -790b = + ou - 10n _a = 1 & d = 8 --> M = 63
_a = 1 & d = 9 --> M = -929 --> pas de solution avec k = 8
h) k = 9 , 8999a - 991d = 10c - 890b = + ou - 10n
_a = 1 & d = 9 --> M = 80 = 10c -890b --> une seule solution : b = 0 et c = 8 --> a b c d = 1089
conclusion : parmi les nombres à 4 chiffres il n'existe apparemment que 2 solutions : N = 1089
& N = 2178
Une autre méthode d'approche pour un nombre à 5 chiffres . a b c d e avec k = 9 9 x a est sans dizaine --> a = 1 , on déduit 9 x e = 81 , e = 9 et la retenue est 8 9 x b ne peut ne peut pas donner de dizaine --> 9 x b = 00 ou 09 --> b=0 ou b=1.
_si b=1 , 8 + x = 11 , et X = 3 et 9 x d = 63 --> d = 7 et Y + 9 = 17 ; 1 est une retenue que l'on doit ajouter à e = 9
cette retenue ne doit pas exister.
_________________________________________ 8__1__e x 9 _______________________________________*__X_____d x 9 ____________________________________Y__*________c x 9 _________________________________0__9___________b x 9 _________________________________9______________a x 9 --- _________________________________e__d__c__b__a
_si b=0 , 8 + X = 10 et X = 2 ; ainsi 9 x d = 72 et d = 8 ; mais comme b = 0 , 9 x c a pour dizaine 8
ainsi 9 x c = 81 et c = 9 . Dans la colonne centrale 7 + 1 + 1(retenue de 2+8) = 9 --> confirmation pour c = 9
On constate alors que comme c = 9 , on peut décaler éternellement le nombre 81 qui donnera 89..9100
auquel on ajoute 81 + 720 = 801 ( 2 premières lignes) , et 900..0000 ( dernière ligne) 801 + 900..0000 + 89..9100 = 989..9901
_________________________________________ 8__1__e x 9 --> e = 9 _______________________________________7__2_____d x 9 --> d = 8 ____________________________________8__1________c x 9 --> c = 9 _________________________________0__0___________b x 9 --> b = 0 _________________________________9______________a x 9 --> a = 1 --- _________________________________e__d__c__b__a__
_________________________________9__8__9__0__1__10989 x 9
ainsi le nombre abcde peut s'allonger à volonté en abccc...cccde puisque 9 x 9 = 81 ne donne en fin de compte
que la retenue finale de 8 au dessus du zéro ; alors 10999...99989 est réversible avec k = 9 .
exemple avec 21978 x 4 = 87912 qui peut être trouvé avec une méthode identique _________________________________________ 3__2__8 x 4
_______________________________________2__8_____7 x 4 ____________________________________3__6________9 x 4 _________________________________0__4___________0 x 4 _________________________________8______________1 x 9 ---
_________________________________8__7__9__1__2__10989 x 9
Avec les nombres à 10 chiffres , connaissant 2 solutions avec les nombres à 4 chiffres , 5 chiffres ... en y intercalant 6 fois le chiffre 9
au centre , on obtient 1099999989 et 2199999978
mais on peut aussi mettre bout à bout 2 nombres identiques à 5 chiffres : 1098910989 et 2197821978
Et enfin intercaler 2 zéros entre deux nombres identiques à 4 chiffres comme : 1089001089 et 2178002178
d'où les nombres de 10 chiffres :
Avec (k=9) : 1089001089 , 1099999989 ; 1098910989 .
Avec (k=4 ): 2178002178 , 2199999978 ; 2197821978 . sont les 6 solutions .
