A367. Les entiers font de la résistance **
Un entier N de k chiffres (k ≥ 1) est appelé "résistant" si la différence d(N,k) entre lui-même et la somme des puissances d'ordre k de ses chiffres est strictement positive.
Par exemple 12 est résistant car 12 − 12 −22 = 7 > 0. A l'inverse 256 ne l'est pas car 256 − 23 − 53 − 63 = − 93 < 0 Q1Pour chacune des valeurs de k variant de 1 à 10, déterminer le ou les entiers N tels que d(N,k) est maximal.
Q2 Démontrer qu'il existe un entier N0 tel que tous les entiers ≥ N0 sont résistants. Pour les plus courageux, déterminer la plus petite valeur possible de N0.
Q1
Pour k=1, il est évident qu’aucun entier de 1 chiffre n’est résistant : différence nulle pour tous.
Pour k=2, le d(N,k) maximal est 25 avec les valeurs de N : 50, 51.
Pour k=3, le d(N,k) maximal est 396 avec les valeurs de N : 620, 621.
Pour k=4, le d(N,k) maximal est 4932 avec les valeurs de N : 6310, 6311.
Pour k=5, le d(N,k) maximal est 56346 avec les valeurs de N : 74210, 74211.
Pour k=6, le d(N,k) maximal est 620671 avec les valeurs de N : 743210, 743211.
Pour k=7, le d(N,k) maximal est 6628125 avec les valeurs de N : 7532110, 7532111.
Pour k=8, le d(N,k) maximal est 69204329 avec les valeurs de N : 75432110, 75432111.
Pour k=9, le d(N,k) maximal est 719743833 avec les valeurs de N : 864322110, 864322111.
Pour k=10, le d(N,k) maximal est 7509238833 avec pour N : 8654321110, 8654321111.
