Soit 2n une puissance de 2 qui vérifie la condition imposée,k (k>2) le nombre de ses chiffres eta son premier chiffre à gauche

A550. Les puissances de 2 à la fête

Q1 :Trouver toutes les puissances de 2 qui sont encore des puissances de 2 lorsqu’on supprime a) le premier chiffre de gauche. Nota : 4096 devient 96.

b) le dernier chiffre de droite.

Q2 :Existe-t-il une puissance de 2 telle qu’en réarrangeant ses chiffres on obtienne une autre puis- sance de 2 ?

Nota : les entiers commençant par un zéro sont exclus dans les réarrangements de la puissance de 2.

Solution de Claude Felloneau

Q1 a)Les seules puissances de 2 qui conviennent sont 32 et 64.

b)16 est l’unique puissance de 2 possédant la propriété requise.

Q2La réponse est non.

Preuve

Q1 a)Il est clair que 32 et 64 conviennent.

Soit 2ⁿ une puissance de 2 qui vérifie la condition imposée,k (k>2) le nombre de ses chiffres eta son premier chiffre à gauche.

Il existe un entier naturelptel que 2ⁿ=a·10^k+2^p. On a doncp<n.

En écrivantasous la formea=2^ubavecu∈{0, 1, 2, 3} etb∈{1, 3, 5, 7}. On a alors 2^p¡

2^n−p−1¢

=b·2^k+u·5^k.

Comme tout entier naturel non nul s’écrit de façon unique sous la forme 2^xy avecx∈N,y∈Nety impair, on obtient :

p=k+u et 2^n−p−1=b·5^k. On en déduit que 2^n−p≡1 [5].

Comme 2 est d’ordre 4 modulo 5,n−pest un multiple non nul de 4 et il existe donc un entier naturel non nulqtel quen−p=4q. On a alors : 2^4q−1=b·5^k, soit

¡2^q−1¢ ¡

2^q+1¢ ¡

2^2q+1¢

=b·5^k.

Commeq>_{1, 2}^2q_+1>2^q_+1>1. De plus, les trois facteurs du premier membre sont premiers entre eux deux à deux car tout diviseur commun à deux d’entre eux est impair et divise 2 qui est la diffé- rence entre 2^q+1 et 2^q−1 d’une part et entre 2^2q+1 et¡

2^q−1¢ ¡ 2^q+1¢

d’autre part.

Comme le second membre n’a qu’au plus deux facteurs premiers distincts, on en déduit que 2^q−1=1, doncq=1. Ce qui donnek=1 etb=3. D’oùu=0 ouu=1 cara=2^ub69.

u=0 donnea=3,p=k=1,n=p+4q=5, d’où 2ⁿ=32.

u=1 donnea=6,p=k+1=2,n=p+4q=6, d’où 2ⁿ=64.

Q1 b)Il est clair que 16 convient.

Soit 2ⁿ une puissance de 2 qui vérifie la condition imposée eta son dernier chiffre à droite.a est

évidemment différent de 0 puisqu’une puissance de 2 n’est pas divisible par 5.

Il existe un entier naturelptel que 2ⁿ=2^p·10+a. On a alors 2^p+1¡

2^n−p−1−5¢

=a

L’entieraest donc pair et 562^n−p−1614 donc 2^n−p−1=8 doncaest un multiple de 3. Finalement a=6,p=0 etn−p−1=3 donc 2ⁿ=16.

Q2S’il existe une puissance de 2 vérifiant la propriété imposée, soitnson exposant. En réarrangeant les chiffres de 2ⁿon obtient 2^poùpest un entier naturel distinct den.

Quitte à permuternetp, on peut supposer quep>n.

2ⁿet 2^payant le même nombre de chiffres, on a 2^p<10·2ⁿ<2ⁿ⁺⁴, doncp6n+3.

2ⁿet 2^payant la même somme de leurs chiffres, on a 2ⁿ≡2^p[9] et comme 9 et 2ⁿsont premiers entre eux, on obtient 2^p−n≡1 [9].

Orp−n∈{1, 2, 3} et 2¹, 2²et 2³ne sont pas congrus à 1 modulo 9. On aboutit donc à une contradic- tion.

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