Exercice#2.Soitale premier chiffre≥2de votre numéro d’étudiant

Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques3^eannée UE Approfondissement en analyse

Contrôle terminal (à distance)#1 – le 18 mai 2020 –

– durée 60 minutes + 15 minutes pour numériser la copie – Entête de la copie : prénom, nom, numéro d’étudiant

Des questions concernant l’énoncé pendant le contrôle ?

Les poser sur leforumou écrire àmironescu@math.univ-lyon1.fr

Exercice#1.Soitale premier chiffre≥2de votre numéro d’étudiant. Soit f :R² →R, f(x, y) := sin

πx

2

cos (π(y−x)), ∀(x, y)∈R².

Écrire la formule de Taylor à l’ordre deux avec reste enoau point(a, a). La réponse doit être « numérique » (ne pas écriresin 0oucos 0, mais0ou1, etc.).

Exercice#2.Soitale premier chiffre≥2de votre numéro d’étudiant. Soit f :R² →R, f(x, y) := x^4a+y^4a−2a x²y², ∀(x, y)∈R².

a) Quels sont les points critiques def?

b) Quelle est la matrice hessienne defdans chacun de ces points ?

c) Quelle est leur nature (pas de point d’extrémum local, extrémum global, extrémum local mais pas global) ?

Exercice#3.Soitble dernier chiffre≥1de votre numéro d’étudiant. On consi- dère la matrice suivante

A(x, y) :=

x²−by b²−bx α−βx y

, ∀(x, y)∈R², oùα,βsont des constantes réelles.

TSVP

a) Trouver toutes les constantesα,βtelles que la matriceA(x, y)soit la ma- trice hessienne d’une certaine fonctionf =f(x, y)∈C²(R²).

b) Pour ces valeurs deα,β, trouver toutes les fonctionsf ∈C²(R²)de hes- sienneA.

Exercice#4.Soitcle dernier chiffre≥2de votre numéro d’étudiant. Calculer max

x²+y²=1

x^2c+y^2c ,

et préciser dans quels points ce maximum est atteint.