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Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3

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Academic year: 2022

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Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3

e

année UE Approfondissement en analyse

Cours #5 – le 15 mars 2021 –

Deuxième partie. Calcul différentiel (dans les espaces normés de dimension fi- nie)

Le cadre est celui de R

n

ou de tout autre espace vectoriel E sur R , de dimen- sion finie, muni d’une norme. Les fonctions sont définies sur U, ouvert de E : f : U → R (ou f : U → F , avec (F, k k

F

) espace normé sur R ).

Chapitre 1. Différentielle 6. Différentielle (rappels).

7. Exercice. Calculer la différentielle de f : R

2

→ R , f (x, y) := xy, ∀ (x, y) ∈ R

2

.

8. Unicité de la différentielle.

9. Équivalence entre différentiabilité et dérivabilité si n = 1.

10. Lien entre différentielle, dérivées partielles et dérivées directionnelles. d

a

f (h) = [∇f(a)] · h.

11. Si les dérivées partielles d’une fonction sont continues, alors la fonction est différentiable.

12. Fonction de classe C

1

.

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