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Université Claude Bernard Lyon 1 Licence de mathématiques 3

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Academic year: 2022

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Université Claude Bernard Lyon 1 Licence de mathématiques 3

e

année

Mesure et intégration Année 2019-2020

Auto-contrôle #1 –le 1er octobre 2019–

–durée 35 minutes–

Exercice 1. Soient A, B, C, D des parties de l’ensemble X. Si A ⊂ C et B ⊂ D, montrer que A \ D ⊂ C \ B.

Exercice 2. Soit (X, T ) un espace mesurable. Prouver ou réfuter les affirmations suivantes.

a) Si A ⊂ X, alors χ

Ac

est étagée.

b) Si f, g : X → R sont mesurables, alors {x ∈ X ; f (x) < g(x)} est mesurable.

Exercice 3. Calculer lim inf

n→∞

(1 + cos(n π)) n.

Exercice 4. Soit (X, T , µ) un espace mesuré. Soit B ∈ T . Soit ν : T → [0, ∞], ν(A) := µ(A∩ B),

∀ A ∈ T . Montrer que ν est une mesure.

Exercice 5. Nous travaillons dans R muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue ν

1

. Soit f = χ

[0,1]

.

1. Montrer que f est borélienne.

2. Montrer qu’il n’existe pas de fonction continue g : R → R telle que f = g ν

1

-p. p.

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