Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3

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Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3

^e

année UE Approfondissement en analyse

Cours #7

– cours à distance, le 12 avril 2021 –

Deuxième partie. Calcul différentiel

Chapitre #2. Les formules de Taylor et applications Le cadre est le suivant :

1. E = R

ⁿ

.

2. f : U → G, avec U ouvert de R

ⁿ

.

3. G = R pour les formules de Taylor avec point intermédiaire, et G = R

^m

(ou un e.v. n. réel) pour les formules de Taylor avec reste en o ou reste in- tégral.

4. a, b sont des points de U, et [a, b] désigne le segment fermé d’extrémités a et b, c’est-à-dire

[a, b] := {(1 − t)a + tb ; t ∈ [0, 1]}.

5. · est le produit scalaire usuel dans R

ⁿ

.

Rappels. Formules de Taylor avec point intermédiaire et sous forme intégrale pour g : [0, 1] → R

1. Si g est dérivable, alors il existe t ∈]0, 1[ tel que g(1) = g(0) + g

⁰

(t).

2. Si g est de classe C

¹

, alors g(1) = g(0) + Z

1

0

g

⁰

(t) dt.

3. Si g est deux fois dérivable, alors il existe t ∈]0, 1[ (pas forcément celui de l’item 1 !) tel que g(1) = g(0) + g

⁰

(0) + 1

2 g

⁰⁰

(t).

4. Si g est de classe C

²

, alors g(1) = g(0) + g

⁰

(0) + Z

1

0

(1 − t) g

⁰⁰

(t) dt.

1

(2)

Les formules de Taylor

1. Nous établirons trois types de formules de Taylor :

(a) Avec reste en o (hypothèse : f différentiable k fois, k = 1, 2).

(b) Avec point intermédiaire (hypothèses : f différentiable k fois, k = 1, 2, et [a, b] ⊂ U ).

(c) Avec reste intégral (hypothèses : f de classe C

^k

, k = 1, 2, et [a, b] ⊂ U ).

2. Petit exercice. Soit f : U → G une fonction différentiable (en a ∈ U ).

Alors nous avons la formule de Taylor au premier ordre avec reste en o f(a + h) = f(a) + d

_a

f (h) + o(h) quand h → 0.

3. Petit exercice. Proposer et montrer la formule de Taylor au premier ordre avec reste en o si U ⊂ E, avec E espace normé quelconque de dimension finie.

4. Formule de Taylor au premier ordre avec point intermédiaire. Soit f : U → R une fonction différentiable. Si a, b ∈ U sont tels que [a, b] ⊂ U , alors il existe c ∈ [a, b] tel que

f(b) = f (a) + [∇f (c)] · (b − a).

5. Exercice de cours. Proposer et montrer la formule de Taylor au premier ordre avec point intermédiaire si U ⊂ E, avec E espace normé quelconque de dimension finie.

6. Formule de Taylor au premier ordre avec reste intégral. Soit f : U → R une fonction de classe C

¹

. Si a, b ∈ U sont tels que [a, b] ⊂ U , alors

f(b) = f (a) + Z

1

0

[∇f ((1 − t)a + tb)] · (b − a) dt.

7. Exercice de cours. Soit E un espace normé de dimension finie (par néces- sairement R

ⁿ

). Soit f : U → R

^m

, f = (f

₁

, . . . , f

_m

).

(a) Montrer que f est différentiable (en a ∈ U ) si et seulement si f

_j

est différentiable (en a ∈ U ), j = 1 . . . , m.

(b) Si f est différentiable (en a ∈ U ) et {e

₁

, . . . , e

_m

} est la base canonique de R

^m

, montrer que

d

_a

f =

m

X

j=1

d

_a

f

_j

e

_j

.

2

(3)

(c) Si E = R

ⁿ

et f : U → R

^m

est différentiable en a ∈ U , montrer que la matrice de d

_a

: R

ⁿ

→ R

^m

dans les bases canoniques de R

ⁿ

et R

^m

est

J

a

f =







∂

₁

f

₁

(a) ∂

₂

f

₁

(a) . . . ∂

_n

f

₁

(a)

∂

₁

f

₂

(a) ∂

₂

f

₂

(a) . . . ∂

_n

f

₂

(a) .. . .. . . . . .. .

∂

₁

f

_m

(a) ∂

₂

f

_m

(a) . . . ∂

_n

f

_m

(a)







=







t

[∇f

₁

(a)]

t

[∇f

₂

(a)]

.. .

t

[∇f

_m

(a)]





 .

Cette matrice est la (matrice) jacobienne de f . Si m = 1, alors J

_a

f =

^t

[∇f(a)].

8. Exercice de cours. (Admettre, si nécessaire, l’exercice de cours # 10.) Soit f : U → R

^m

une fonction de classe C

¹

. Si a, b ∈ U sont tels que [a, b] ⊂ U , alors

f(b) = f (a) + Z

1

0

d

(1−t)a+tb

f (b − a) dt.

9. Définition. Si f : U → R admet des dérivées partielles du second ordre en a ∈ U , alors la matrice hessienne H

_a

f ∈ M

_n

( R ) est

H

_a

f :=







∂

₁

∂

₁

f (a) ∂

₁

∂

₂

f (a) . . . ∂

₁

∂

_n

f(a)

∂

2

∂

1

f (a) ∂

2

∂

2

f (a) . . . ∂

2

∂

n

f(a) .. . .. . . . . .. .

∂

n

∂

1

f(a) ∂

n

∂

2

f (a) . . . ∂

n

∂

n

f(a)





 .

Nous utiliserons la même notation si f : U → G. Dans ce cas, nous avons H

_a

f ∈ M

_n

(G).

10. Formule de Taylor à l’ordre deux avec point intermédiaire. Si f : U → R est deux fois différentiable, et si [a, b] ⊂ U , alors il existe c ∈ [a, b] tel que

f(b) = f (a) + [∇f (a)] · (b − a) + 1

2 [H

_c

f (b − a)] · (b − a).

11. Formule de Taylor à l’ordre deux avec reste intégral. Si f : U → R est de classe C

²

, et si [a, b] ⊂ U , alors

f(b) =f (a) + d

_a

f (b − a) +

Z

1 0

(1 − t) [H

(1−t)a+tb

f (b − a)] · (b − a) dt.

3

(4)

12. Exercice de cours. Montrer que la formule précédente reste vraie si f : U → R

^m

est de classe C

²

et [a, b] ⊂ U .

13. Formule de Taylor à l’ordre deux avec reste en o. Si f : U → R est diffé- rentiable sur U et deux fois différentiable en a ∈ U , alors

f(a + h) = f(a) + d

a

f (h) + 1

2 [H

a

f (h)] · h + o(khk

²

) quand h → 0.

Applications. Points critiques et leur nature

1. Définition. Soit f : U → R différentiable. a ∈ U est un point critique de f si d

a

f = 0.

2. Soit f : U → R deux fois différentiable. Soit a ∈ U un point critique de f. Alors H

_a

f est symétrique, et de plus :

(a) Si H

a

f > 0, alors a est un point de minimum local strict.

(b) Si H

_a

f < 0, alors a est un point de maximum local strict.

(c) Si H

_a

f a (au moins) une valeur propre > 0 et (au moins) une valeur propre < 0, alors a n’est pas un extrémum local.

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