Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3

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année UE Approfondissement en analyse

Complément #2 – 10 février 2020 –

Deuxième partie. Calcul différentiel Chapitre #1. Différentielle

Le cadre est le suivant :

1. (E, k k) est un espace normé de dimension finie sur R . Cas particulier important : E = R

.

2. U est un ouvert de E.

3. (G, ||| |||) est un espace normé sur R .

Cas particulier important : (G, ||| |||) = ( R , | |).

4. f : U → G.

Cas particulier important : U ⊂ R

et f : U → R .

Proposition 1. Soit f : U → G différentiable (en a ∈ U ). Alors f est continue (en a).

Démonstration. Soit R > 0 tel que B(a, R) ⊂ U. Nous avons f (a + h) = f (a) + d

f(h) + ε

(h), khk < R,

avec d

f : E → G linéaire et ε

(h) = o(khk) quand h → 0.

Il s’ensuit que, si kx − ak < R, alors

f (x) − f (a) =f (a + (x − a)) − f (a) = d

f(x − a) + ε

(x − a)

=O(kx − ak) + o(kx − ak) = o(1) + o(1) = o(1) quand x → a. f est donc continue en a.

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Proposition 2. Soient f, g : U → G différentiables (en a ∈ U), et λ ∈ R . Alors f + λg est différentiable (en a) et d

(f + λg) = d

f + λd

g.

Démonstration. Avec R comme ci-dessus, nous avons f (a + h) = f (a) + d

f(h) + ε

(h), khk < R, g(a + h) = g (a) + d

g(h) + ε

(h), khk < R,

avec d

f, d

g : E → G linéaires et ε

(h) = o(khk) quand h → 0. Il s’ensuit que (f + λg)(a + h) = (f + λg)(a) + (d

f + λd

g)(h) + ε(h), khk < R, (1) où

ε(h) :=ε

(h) + λε

(h) = o(khk) + O(1) o(khk)

=o(khk) + o(khk) = o(khk) quand h → 0. (2) En utilisant (1), (2) et le fait que d

f +λd

g est linéaire, nous obtenons d

(f + λg) = d

f + λd

g.

Proposition 3. Soient f : U → R et g : U → G différentiables (en a ∈ U ). Alors f g : U → G est différentiable (en a ∈ U) et

d

(f g)(h) = f (a) d

g(h) + d

f(h) g(a), ∀ h ∈ R

. (3)

Démonstration. Soit R comme ci-dessus. Nous avons f (a + h) = f (a) + d

f(h) + ε

(h), khk < R, g(a + h) = g (a) + d

g(h) + ε

(h), khk < R,

avec d

f : E → R , d

g : E → G linéaires et ε

(h) = o(khk) quand h → 0. Il

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s’ensuit que

f(a + h)g(a + h) =[f (a) + d

f(h) + ε

(h)] [g(a) + d

g(h) + ε

(h)]

=f (a)g(a) + [f (a) d

g(h) + d

f (h) g(a)]

+ ε

(h) [g(a) + d

g(h) + ε

(h)]

+ ε

(h) [f(a) + d

f(h)] + d

f (h) d

g(h)

=f (a)g(a) + [f (a) d

g(h) + d

f (h) g(a)]

+ o(khk) [O(1) + O(khk) + o(khk)]

+ o(khk) [O(1) + O(khk)] + O(khk) O(khk)

=f (a)g(a) + [f (a) d

g(h) + d

f (h) g(a)]

+ o(khk) + o(khk

) + o(khk

) + o(khk) + o(khk

) + O(khk

)

=f (a)g(a) + [f (a) d

g(h) + d

f (h) g(a)] + o(khk), (4)

les o s’entendant quand h → 0.

Par ailleurs,

E 3 h 7→ f (a) d

g(h) + d

f (h) g(a)

est linéaire (vérifier). En utilisant ce fait et (4), nous obtenons (3).

Proposition 4. Nous supposons G de dimension finie. Soit V un ouvert de G.

Soit (H, i, h) un espace normé sur R . Soient f : U → G telle que f(U ) ⊂ V et g : V → H. Si f est différentiable (en a ∈ U ) et g est différentiable (en b := f(a)), alors g ◦ f est différentiable (en a ∈ U ) et

d

(g ◦ f)(h) = d

g[d

f(h)], ∀ h ∈ E, (5) ou encore

d

(g ◦ f) = [d

g] ◦ [d

f]. (6)

Démonstration. Soit r > 0 tel que B(f(a), r) ⊂ V . f étant continue en a, il existe un δ > 0 tel que

[x ∈ U, kx − ak < δ] = ⇒ |||f(x) − f(a)||| < r.

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Par ailleurs, il existe R > 0 tel que B(a, R) ⊂ U . Soit ρ := min{δ, R}. Nous avons alors

khk < ρ = ⇒ a + h ∈ B(a, ρ) = ⇒ [a + h ∈ U, f (a + h) ∈ B(f(a), r)].

Nous avons

f (a + h) = f (a) + d

f(h) + ε

(h), khk < ρ,

g(f (a) + k) = g(f (a)) + d

g(k) + ε

(k), |||k||| < r

avec ε

(h) = o(khk) quand h → 0 et ε

(k) = o(|||k|||) quand k → 0.

Si khk < ρ, alors (les o étant entendus quand leurs arguments tendent vers 0)

g(f (a + h)) =g(f(a) + d

f (h) + ε

(h))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h) + ε

(h)) + ε

(d

f (h) + ε

(h))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + d

g(ε

(h)) + o(d

f (h) + ε

(h))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + O(ε

(h)) + o(O(khk) + o(khk))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + O(o(khk)) + o(O(khk))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + o(khk) + o(khk)

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + o(khk)

=g(f(a)) + [d

g] ◦ [d

f](h) + o(khk).

L’application [d

g] ◦ [d

f ] étant linéaire, nous obtenons (5).

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