Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques3eannée UE Approfondissement en analyse
Cours#1 – le 25 janvier 2021 –
Première partie. Espaces normés Chapitre#1. Exemples de normes
1. Exemples importants d’espaces vectoriels : (a) K.
(b) Kn. (c) Mm,n(K).
(d) L’espaceF(A,K)des fonctionsf :A→K. (e) L’espacesdes suites(an)n≥0deK.
(f) C([0,1];K).
(g) c:={(an)n≥0 ∈s; (an)n≥0converge}.
2. Norme.
3. Premiers exemples de normes surKn: (a) | |surK.
(b) k k1.
(c) Petit exercice : vérifier quekxk1 ≥ 0,∀x ∈ Kn, et quek k1vérifie les axiomes (i) et (iii) d’une norme.
(d) k k∞.
(e) Petit exercice : vérifier quekxk∞ ≥0,∀x∈Kn, et quek k∞vérifie les axiomes (i) et (iii) d’une norme.
(f) Lemme. Si t ≥ 0etA ⊂ R est non vide et fini, alorsmax (tA) = t maxA.
4. Inégalité de Cauchy-Schwarz :
(a) Identité de Lagrange.
(b) Principe du trinôme.
(c) Inégalité de Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire.
(d) Exercice de cours. Soienta1, . . . , an,b1, . . . , bn ∈Rtels que
(a1)2 ≥(a2)2+· · ·+ (an)2.
En examinantf(−b1/a1), où
f(t) := (a1t+b1)2−(a2t+b2)2− · · · −(ant+bn)2, montrer que
(a1b1−a2b2− · · · −anbn)2
≥
(a1)2−(a2)2− · · · −(an)2
×
(b1)2−(b2)2− · · · −(bn)2 .
5. k k2dansKn.
6. k kpdansKn,1< p <∞.
(a) Définition.
(b) Petit exercice. Montrer quekxkp ≥0,∀x ∈Kn, et quek kpvérifie les axiomes (i) et (iii) d’une norme.
(c) Exposant conjuguéq.
(d) Petit exercice. Soit1≤p≤ ∞. Montrer les identités suivantes :
1 p+ 1
q = 1 ; pq=p+q.
(e) Exercice de cours. Montrer l’inégalité de Young : si1< p <∞etqest le conjugué dep, alors
ab≤ ap p +bq
q, ∀a, b≥0.
