A338 – Les nombres qui se font hara-kiri
On choisit k nombres entiers naturels positifs distincts a, b, c,...e. Un entier naturel positif se fait hara-kiri jusqu’au niveau k s’il remplit les conditions suivantes :
- il a au moins k + 1 chiffres non nuls, - c’est un multiple des k nombres a, b, c,...e,
- on choisit un premier chiffre non nul que l’on supprime et le nombre résultant reste un multiple des k nombres,
- on opère de la même manière en choisissant un 2ème chiffre non nul que l’on supprime... et enfin un kième chiffre non nul que l’on supprime de telle sorte qu’à chaque étape les nombres résultants restent des multiples des k nombres.
Par exemple, si l’on choisit les deux entiers 3 et 6, le nombre 396 peut se faire hara-kiri jusqu’au niveau 2 car c’est un nombre à 3 chiffres, c’est un multiple de 3 et de 6 et en
supprimant respectivement 3 puis 9, on obtient 96 puis 6 qui sont toujours des multiples de 3 et de 6. On pourrait également supprimer 9 puis 3 qui donnent 36 et 6 également multiples de 3 et de 6.
Q₁ Trouver un nombre entier le plus petit si possible qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau 3 avec les trois nombres premiers 5,7 et 11.
Q₂ Montrer que quels que soient les k entiers positifs distincts a, b, c..., on sait toujours fabriquer un entier qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau k.
Solution proposée par Patrick Gordon Q1
Tout multiple de 5, 7 et 11 l'est de 385.
Pour que l'on puisse ôter le chiffre de rang (n+1) à partir de la droite d'un nombre N multiple de 385, sans que le nombre restant, soit N', cesse d'être divisible par 385, il faut que la différence (N – N') soit elle-même divisible par 385.
Si l'on écrit N sous la forme "ABC" où A est un nombre entier, B un chiffre (autre que 0, en raison de l'énoncé) et C un entier de n chiffres, on a :
N' = "AC"
et donc :
N – N' = (9A + B) 10n
Cette différence est de toute façon divisible par 5 (sauf si n=0; écartons provisoirement ce cas). On veut donc en outre qu'elle le soit par 7 et par 11, donc par 77. Bien entendu, 10n ne peut pas l'être.
Soit donc à chercher les valeurs de A telles que (9A + B) soit divisible par 77.
Si B = 1, la première solution rencontrée est A= 17 car 9 × 17 + 1 = 154 = 2 × 77.
Reste à chercher un multiple de 385 commençant par 171.
Le premier est 171 710 et le nombre obtenu en ôtant son troisième chiffre, soit 17 710, est bien multiple de 385. Le nombre 171 710 est donc acceptable comme avant-dernier nombre.
Mais, par le même raisonnement, 1 711 710 répond aussi à la question de même que 17 111 710.
D'où une première solution :
On part de 17 111 710 et l'on ôte à chacune des 3 étapes un 1.
La même démarche avec B = 2 conduit à une meilleure solution : On part de 3 422 265 et l'on ôte à chacune des 3 étapes un 2.
En essayant les valeurs 3, 4…9 de B, on constate que ce dernier nombre (3 422 265) est le plus petit possible.
Q2
Tout multiple de a, b, c… l'est de leur PPCM – soit P ce nombre.
La même méthode que ci-dessus s'applique. Pour que l'on puisse ôter le chiffre de rang (n+1) à partir de la droite d'un nombre N multiple de P, sans que le nombre restant, soit N', cesse d'être divisible par P, il faut que la différence (N – N') soit elle-même divisible par P.
Si l'on écrit N sous la forme "ABC" où A est un nombre entier, B un chiffre (autre que 0) et C un entier de n chiffres, on a :
N' = "AC"
et donc :
N – N' = (9A + B) 10n
Dans le cas particulier où le PPCM des nombres a, b, c… n'est autre que 10p (p<n, car sinon, on ne peut pas ôter le chiffre de rang n+1), il suffit que N se termine par p zéros pour que cette relation soit satisfaite. Dans le cas général, on veut que la différence N – N' soit divisible par P. Bien entendu, dans ce cas, 10n ne peut pas l'être.
Soit donc à chercher les valeurs de A telles que (9A + B) soit divisible par P, c’est-à-dire telles que :
1) (9A + B) = aP
Soit P' = MOD(P;9). On a donc P = 9b + P', avec P' compris entre 0 et 9. Il suffit de prendre pour B le complément à 9 de ce nombre, soit B = 9–P'.
L'équation (1) se réécrit alors : 2) 9A + 9 – P' = 9ab + aP'
Il en résulte que (a + 1) P' est multiple de 9. Comme P' (reste d'une division par 9) ne l'est pas, c'est que a = 8 mod.9.
À chaque valeur de a correspond, par (1), une valeur de A = (aP – B)/9.
Reste à voir s'il existe un nombre N multiple de P, qui commence par A.
Prenons a=8 (ce qui nous donnera, s'il y a une solution, le plus petit A).
On a alors A = (8P – B)/9 = 8P/9 – B/9. Comme B ≤ 9, A est compris entre 8P/9 – 1 et 8P/9, ou encore, 10A est compris entre 80P/9 – 10 et 80P/9. Donc 9P, qui est > 80P/9, est > 10A.
Mais 8P, qui est < 80P/9 – 10 (dès lors que P ≥ 2), est < 10 A. Le nombre 10 A, qui commence bien par A, est donc compris entre 8P et 9P.
Plus généralement, on remarque que A= 8P/9 – B/9 s'écrit aussi : A = 0,8888… P – 0,1111… B
et que donc (h étant un entier ≥ 0 quelconque; "h" comme "huit") : 10h A = 8888…,888… P – 1111…,111… B
L'intuition est qu'il faut chercher N parmi les nombres 8888… P, avec un nombre de "8" à déterminer.
Empiriquement, sur la base de plusieurs exemples, on conjecture le résultat suivant.
Soit k' le nombre de chiffres de 8P1. Le nombre N cherché est le produit de P par le nombre formé de 2k' fois le chiffre 8.
Ce nombre N est formé de (de gauche à droite) :
le nombre A = [8P + P']/9 – 1
k' fois le chiffre B = 9 – P'
k' autres chiffres.
Ce sont les k' chiffres "B" que l'on peut ôter un par un.
Pour le démontrer, le formalisme littéral n'est pas la meilleure méthode; il vaut mieux "poser la multiplication".
On peut montrer que, si l'on part de la droite,
les k' premiers chiffres sont quelconques,
les h suivants (h = nombre de "8" du multiplicateur) sont égaux à B = 9–P'
les plus à gauche donnent A.
En voici une illustration, avec : P = 976,
k' = 4 (nombre de chiffres de 8P = 7808), h = 9 (nombre de "8" du multiplicateur).
1 On ne confondra pas ce k' avec le k de l'énoncé. Ce dernier pose d'ailleurs problème. En effet, le nombre 26 = 64, par exemple, peut être indifféremment considéré comme le produit des 2 nombres positifs distincts 4 et 16 ou celui des 3 nombres positifs distincts 2, 4, 8.
9 7 6
× 8 8 8 8 8 8 8 8 8
7 8 0 8
7 8 0 8
7 8 0 8
7 8 0 8
7 8 0 8
7 8 0 8
7 8 0 8
7 8 0 8
7 8 0 8
8 6 7 5 5 5 5 5 4 6 8 8
Que les chiffres centraux de N soient égaux à B est aisé à démontrer. Les colonnes centrales (en grisé ci-dessus) reproduisent les chiffres de 8P, auxquels s'ajoute la retenue r (chiffre des dizaines2 de la somme des chiffres de 8P) dans la somme, ce qui donne, dans N, le reste par 9 de la somme des chiffres de 8P. Or MOD[8P;9] + MOD[P;9] = 9, donc MOD[8P;9] = 9 – MOD[P;9] = 9 – P' = B.
Reste à montrer ce résultat (surprenant à première vue) que, étant donné un nombre 8P =
"…mcdu" (m comme milliers, c comme centaines, etc.), si l'on additionne "…mcd" + "…mc"
+ "…m" + … ainsi que la retenue r, on trouve "le A de P", c’est-à-dire [8P + P']/9 – 1.
Voici une démonstration. La somme "…mcd" + "…mc" + "…m" + r (que nous noterons A') vaut :
A' = … + 111 m + 11 c + d + r.
Multiplions cette expression par 9; il vient :
9A' = … + 999 m + 99 c + 9 (d+r), c’est-à-dire :
9A' = … + 1000 m + 100 c + 10 d + u – (…m + c + d) – u + 9r c’est-à-dire encore :
9A' = 8P – somme des chiffres de 8P + 9r Mais par ailleurs, on a vu que :
9A = 8P + P' – 9 A-t-on :
2 Ici, nous simplifions. Si h est très élevé, on pourrait avoir une retenue à plusieurs chiffres.
(somme des chiffres de 8P) – 9r = 9 – P'?
Or, comme on l'a vu à propos des chiffres centraux, la somme des chiffres de 8P plus la retenue r a pour chiffre des unités MOD[8P;9] = 9 – P', et pour chiffre des "dizaines" r.
En d'autres termes,
(somme des chiffres de 8P) + r = 10r + 9 – P' Donc :
(somme des chiffres de 8P) – 9r = 9 – P'
La réponse à la question ci-dessus est donc oui et la propriété est établie.
Notons enfin que, à chaque fois que l'on ôte un "B", le nombre reste divisible par P, par construction et que l'on peut prendre h (nombre de "8" du multiplicateur) aussi grand que l'on veut, ce qui résout la difficulté évoquée plus haut sur le sens à donner au "k" de l'énoncé.
