Spirale etζ (suite) (Denise Vella-Chemla, 28.10.2017)
On étudie une spirale du plan cartésien dont les coordonnées des sommets sont définis par la suite : xn+1
yn+1
= xn
yn
+λn
cos θn −sin θn
sin θn cos θn
xn−xn−1
yn−yn−1
=
xn+λncos θnxn−λncos θnxn−1−λnsin θnyn+λnsin θnyn−1 yn+λnsin θnxn−λnsin θnxn−1+λncos θnyn−λncos θnyn−1
On peut aussi écrire la suite des coordonnées en utilisant des vecteurs de R4 et une matrice 4×4 pour la transformation.
xn+1
yn+1
xn
yn
=
1 +λncos θn −λnsin θn −λncos θn λnsin θn
λnsin θn 1 +λncos θn −λnsin θn −λncos θn
1 0 0 0
0 1 0 0
xn
yn
xn−1
yn−1
Les angles de rotationθ, θ0, θ00qui séparent deux côtés successifs de la spirale sont tous différents : quand on écrit littéralement la sommeζ(s) avecs=a+ib, on obtient
1 + 1
2 a
e−ib ln2+ 1
3 a
e−ib ln3+ 1
4 a
e−ib ln4+. . .
Les deux premiers points de la spirale sontz= 0 etz= 1.
Dans le cas où a = 1
2, les côtés successifs de la spirale brisée ont pour longueur 1
√ 2, 1
√ 3, 1
√
4, . . . (sur le dessin ci-dessous, on a bêtement mis les angles dans le sens anti-horaire, ça correspond à des +ib . . .comme puissances dese dans la formule ci-dessus plutôt que des −ib, c’est sans importance car l’axe des abcissses est axe de symétrie deζ). Lesλn (coefficients réducteurs pour passer de la longueur d’un côté à la longueur du côté suivant de la spirale) sont de la forme
√n
√n+ 1.
0 1
b ln2
√1 2
b ln3
√1 3
b ln4
Au départ, on était plutôt parti sur une décomposition en trois opérations successives, une translation, une homothétie puis une rotation codées par les matrices de transformation ci-dessous.
0 0 1 0
0 0 0 1
−1 0 2 0
0 −1 0 2
x yn xn+1 yn+1
=
xn+1 yn+1 2xn+1−xn 2yn+1−yn
1
1 0 0 0
0 1 0 0
(1−λn) 0 λn 0 0 (1−λn) 0 λn
x yn
xn+1
yn+1
=
xn
yn
xn+λnxn+1−λnxn
yn+λnyn+1−λnyn
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cosθ −sinθ 0 0 sinθ cosθ
x yn
xn+1
yn+1
=
xn
yn
cosθ xn+1−sinθ yn+1
sinθ xn+1+ cosθ yn+1
2
