UNIVERSIT´E LILLE 1 M22-MIMP
2013-2014 Groupe 12
Devoir Maison pour le 4 mars 2014
Exercice 1
Soient (xn)n∈N, (yn)n∈N, (zn)n∈N trois suites de r´eels telles que x0 =y0 =z0 = 1 et
∀n ∈N,
xn+1 = yn+zn yn+1 = xn+zn zn+1 = xn+yn
Pour toutn, on poseXn=
xn
yn zn
.
1. Calculer X0. R´e´ecrire la relation de r´ecurrence sous la forme Xn+1 = AXn, o`u la matrice A∈ M3(R) est `a d´eterminer.
2. Montrer que pour tout n∈N, Xn=AnX0. 3. On cherche ici `a calculer An. Soit J =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
(a) Montrer qu’il existeλ∈R tel que J2 =λJ. Calculer Jn pour toutn ∈N∗. (b) D´eterminer des r´eels a etb tels que A=aJ+bI3 et montrer que
An =bnI3+
n
X
k=1
Cnkakbn−kλk−1J
(c) En d´eduire que
∀n ∈N, An= (−1)nI3+ 1
3(2n−(−1)n)J et expliciter les coefficients de An en fonction de n.
4. A l’aide des questions pr´ec´edentes, calculer xn, yn etzn en fonction den.
Faire au choix l’un des deux exercices suivants : 2a ou 2b
Exercice 2a
R´esoudre les syst`emes lin´eaires suivants selon les valeurs des param`etres a, b ou λ :
ax−by+t=a bx+ay+z =b y+az−bt=a x+bz+at=b
(4−λ)x+ 4y−4z = 0
−x+ (5−λ)y−3z = 0 x+ 7y−(5 +λ)z = 0
Exercice 2b
On consid`ere le syst`eme suivant : (S)
x+y+ 3z = 0 x+ 2y= 0 x+ 6z = 0
.
1. Ecrire (S) sous la forme M
x y z
=
0 0 0
, o`u la matrice M ∈ M3(R) est `a d´eterminer.
Pour k, l ∈ {1, . . . ,3}, soit Ekl ∈ M3(R) la matrice dont le coefficient situ´e `a la position (k, l) vaut 1 et tous les autres coefficients sont nuls :
E1,1 =
1 0 0 0 0 0 0 0 0
, E1,2 =
0 1 0 0 0 0 0 0 0
, . . . , E3,3 =
0 0 0 0 0 0 0 0 1
Ces matrices sont appel´eesmatrices ´el´ementaires.
2. EcrireE1,1+E1,2+ 3E1,3+E2,2−3E2,3. ExprimerM en fonction des Ekl. 3. Calculer E1,1×M, E2,1×M etE3,1×M.
4. CalculerN = (I3−E3,1)(I3−E2,1)×M puisT = (I3+E3,2)×N. Quelles op´erations a-t-on effectu´ees sur les lignes de la matrice M pour obtenirN puisT ? A quoi cela correspond-il sur le syst`eme (S) ?
5. On d´efinit le symbole de Kronecker :
δij = 1 si i=j 0 si i6=j
Pourk, l∈ {1, . . . ,3}fix´es, montrer que le coefficient num´ero (i, j) de Ekl, not´eEijkl, vaut δkiδlj.
6. Montrer que si A= (aij)1≤i,j≤3, alors
A=a1,1E1,1+a1,2E1,2 +. . .+a3,3E3,3 =
3
X
k=1 3
X
l=1
aklEkl
En d´eduire l’´egalit´e aij =P3 k=1
P3
l=1aklδkiδlj.
