1S Fiche TP 11 2014-2015
Soit (yn)n>0définie paryn= 10− 1 (n+ 1)2.
1. Préciser la fonctionudéfinie sur [0; +∞[ telle que, pour toutn∈N, yn=u(n).
2. Déterminer le sens de variation de la fonctionusur [0; +∞[.
3. Quel est le sens de variation de la suite (yn)n>0?
4. Déterminer le premier entier natureln0 tel que,n∈Net n>n0implique que 9,99< yn <10
• • • 1. On pose
u: [0; +∞[−→R x 7−→10− 1
(x+ 1)2 et l’on au(n) =yn pour toutn∈N.
2. Plusieurs stratégies sont possibles pour les variations deusur [0; +∞[ :
⊲ Utiliser les fonctions associées : w: [0; +∞[−→R
x 7−→(x+ 1)2 t: [0; +∞[−→R
x 7−→ 1
w(x) = 1
(x+ 1)2 h: [0; +∞[−→R
x 7−→ −t(x) =− 1 (x+ 1)2 u: [0; +∞[−→R
x 7−→10 +h(x) = 10− 1 (x+ 1)2
w est strictement croissante sur [0; +∞[. (fonction polynôme de degré 2 avec a >0)
wne s’annule pas sur [0; +∞[.t etwont des variations opposées : test strictement décroissante sur [0; +∞[
h et t ont des variations opposées : h est strictement croissante sur [0; +∞[
hetuont les mêmes variations :uest strictement croissante sur [0; +∞[
⊲ Chercher le signe deu(b)−u(a) avec 06a < b.
u(b)−u(a) = 10− 1 (b+ 1)2 −
10− 1
(a+ 1)2
=. . .=(b−a)(b+a+ 2) (a+ 1)2(b+ 1)2
•b > adoncb−a >0
•b >0 eta>0 doncb+a+ 2>0
•(b+ 1)2(a+ 1)2>0
ainsiu(b)−u(a)>0⇒u(b)> u(a) alors queb > a:uest strictement croissante sur [0; +∞[
3. (yn)n>0 est croissante car sa fonction associée est strictement croissante sur [0; +∞[.
4. On « travaille » sur l’encadrement
9,99< yn <10⇔9,99<10− 1
(n+ 1)2 <10
⇔ −0.01<− 1
(n+ 1)2 <0 (on ajoute −10 : sens conservé)
⇔0< 1
(n+ 1)2 <0,01 (on multiplie par −1 : sens modif ié)
⇔(n+ 1)2> 1
0,01 (on inverse des nombres >0 : sens modif ié)
⇔n+ 1>10 (on prend la√. de nombres >0 : sens conservé)
⇔n >9
Ainsi le premier entier naturel pour lequel 9,99< yn <10 est n0= 10. (y10∈]9,99; 10[)
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