Yn → Y en loi

LM 345. Corrig´e

Question de cours: Yn → Y en probabilit´e =⇒ Yn → Y en loi ⇐⇒

f(Yn)→f(Y) pour toute fonctionf continue borne´e. La r´eciproque n’est pas vrai.

Exercice 1. a= 0, b= 1,la fonction est d´erivable pour (−∞,+∞).

Exercice 2.

P(U ≤x) =P( 1

X² ≤x) =P(X²≥ 1

x) = 2P(X ≥ 1

√x)

= 2−2P(X < 1

√x) = 2−2 Z ^√1_x

−∞

cdt 1 +t⁴.

fU(x) =−2 c 1 +

√1 x

⁴

−1 2

x^−3/21_{x≥0}= cx^1/2

1 +x²1_{x≥0}.

L’esp´erance deU est infinie.

Deuxi`eme solution:

Ef(U) = 2 Z ∞

0

f( 1 x²) c

1 +x⁴dx=−2 Z 0

∞

f(v) c√ v 1 + _v¹2

dv 2v² =

Z ∞ 0

f(v) c√ v v²+ 1dv.

Exercice 3.

1.

(a) Loi forte de grands nombres.

(b)Yn→Y o`u la loi deY estδp - la mesure de Dirac enp.

2.

(a) La loi deSn est la loi binomialeB(n, p) (b)E(f(^S_nⁿ)) =Pn

k=0C_n^kp^k(1−p)^n−kf(_n^k) (c) ^S_nⁿ →pen loi =⇒E(f(^S_nⁿ)) =Pn

k=0C_n^kp^k(1−p)^n−kf(^k_n) =⇒Ef(Y) = f(p).

3. Pourp= ¹₂ nous obtenons d’apr`es le TCL

P(−1≤ Sn−ⁿ₂

√n 2

≤1) =P( n

2 −1 2

√n

+ 1≤S_n≤ n

2 +1 2

√n

)

→ 1

√2π Z 1

−1

exp(−x² 2 )dx.

Exercice 4.

1.

fT₁+T₂(y) = Z

fT₂(y−x)f_T1(x)dx= 1 10

Z

1_[0,2](x)1_[0,5](y−x)dx

1

On a 0≤y−x≤5 =⇒max(0, y−5)≤x≤min(2, y)

fT₁+T₂(y) =







y

10 pour 0≤y≤2

1

5 pour 2< y≤5

7

10−₁₀^y pour 5< y≤7 2.

(a) 9h 23 min.

(b) 9h 25min.

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