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2 Image directe, image r´ eciproque

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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CPES 2 – Probabilit´es approfondies 2015-2016 Rappels : th´ eorie des ensembles

Igor Kortchemski – igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

1 Op´ eration sur les ensembles

Soit E un ensemble non vide. Si A ⊂ E, on note A ={x ∈E : x6∈ A} le compl´ementaire de A dansE. SiA⊂B, on noteB\Ales ´elements deB qui n’appartiennent pas `aA. AlorsB\A=B∩A.

Soit I un ensemble quelconque (on voit I comme un ensemble d’indices), et soit (Ai)i∈I une collection de sous-ensembles de E. On rappelle que :

[

i∈I

Ai =\

i∈I

Ai, \

i∈I

Ai =[

i∈I

Ai.

2 Image directe, image r´ eciproque

Soient X et Y deux ensembles. Soit f :X →Y une application.

(∗) Image directe.SiA ⊂X est un sous-ensemble deX, on note f(A) lesous-ensembledeY d´efini par

f(A) ={y ∈Y : il existex∈A tel que y =f(x)}.

On ´ecrit parfois f(A) = {f(x) :x∈A}.

(∗) Image r´eciproque.SiB ⊂Y est un sous-ensemble deY, on notef−1(B) lesous-ensemble de X d´efini par

f−1(B) ={x∈X :f(x)∈B}.

On a f(x)∈B si et seulementx∈f−1(B). On af(A)⊂B si et seulement siA⊂f−1(B).

ATTENTION.Siy∈Y, la notation f−1(y) n’a pas toujours un sens (sauf si f est injective), alors f−1({y}) si. En revanche, si x ∈ X, f(x) a toujours en sens (c’est un ´el´ement de Y), de mˆeme que f({x}) (qui est un sous-ensemble de Y qui est {f(x)}).

(∗) Composition d’images r´eciproques. Soient X, Y, Z des ensembles etf :X →Y,g :Y → Z des applications. Alors pour tout sous-ensembleB ⊂Z deZ on a

(f ◦g)−1(B) =g−1(f−1(B)), qui sont des sous-ensembles de X.

3 = 1+2

Soit f :X →Y une application. Soit I un ensemble quelconque (on voit I comme un ensemble d’indices), soit (Ai)i∈I une collection de sous-ensembles de X et soit (Bi)i∈I une collection de sous- ensembles de Y. Alors

f [

i∈I

Ai

!

=[

i∈I

f(Ai) et

f−1 [

i∈I

Ai

!

=[

i∈I

f−1(Ai), f−1 \

i∈I

Ai

!

=\

i∈I

f−1(Ai).

De plus, si A⊂B ⊂Y, on a f−1(B\A) = f−1(B)\f−1(A).

ATTENTION. Il n’est pas vrai en g´en´eral que f T

i∈IAi

= T

i∈If(Ai) (trouvez un contre- exemple !)

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