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APPLICATIONS
Dans tout le chapitre,EetFdésignent des ensembles.
I – Définitions et composition
Définition 1 :
On définit uneapplication f deEdansFlorsqu’à tout élémentxdeE on associe un unique élément deF, que l’on notef(x). On note f :
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E −→ F x 7−→ f(x) .
Si (x,y)∈E×Fest tel quey=f(x), on dit queyestl’imagedexparf, et quexestun antécédentdey parf.
Remarque : Tout ceci ressemble bigrement à la définition d’une fonction donnée en seconde. C’est que la défi- nition donnée était celle d’une application : en réalité, une fonction associe à toutx∈Eau plus un élément deF.
Par exemple,f :
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R −→ R x 7−→ 1
x
est une fonction (0 n’a pas d’image) etf :
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R∗ −→ R x 7−→ 1 x
est une application.
Exemple 1 :
– siEest un ensemble etA∈P(E),f :
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P(E) −→ P(E)
X 7−→ X∪A (on en profite pour calculerf(A) etf(;)) ; – siEest un ensemble, IdE:
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E −→ E
x 7−→ x est appeléeidentitédeE;
– siEest un ensemble etAune partie deE, on définit la fonction indicatrice deApar : 1A:
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E −→ © 0 , 1ª x 7−→
½ 1, six∈A; 0, sinon.
(on illustre cette application à l’aide d’un petit diagramme).
Définition 2 :
SoientA,BetCdes parties deEvérifiantA⊂B⊂C etf une application deBdansF.
On définit larestrictiondef àAparf/A:
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A −→ F
x 7−→ f/A(x) où∀x∈A,f/A(x)=f(x).
On dit quegest unprolongementdef àCsi∀x∈B,g(x)=f(x).
Remarque : Notons qu’un prolongement ne possède pas forcément le même ensemble d’arrivée que l’application prolongée.
Exemple 2 : cdéfinie sur Cparc(z)= eiz+e−iz
2 est un prolongement de la fonction cosinus àC. La fonction valeur absolue est la restriction àRde la fonction module.
Définition 3 :
SoitGun ensemble,f une application deEdansFetgune application deFdansG.
La composée de f par g est l’application g ◦ f :
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E −→ G
x 7−→ (g◦f)(x) définie par
∀x∈E, (g◦f)(x)=g£ f(x)¤
.
On illustre la notion de composée sur un diagramme, ou en l’écrivant sous forme d’« enchaînement » d’applications.
Remarque : Retenons une méthode générale pour déterminer sur quel ensemble est définie une composée : (g◦f)(x) est défini si
½ x∈Df
f(x)∈Dg . Notons que dans le cas oùF=Rles choses sont simples.
Exemple 3 : f : x7−→2x2+1 etg : x7−→p
2x−3 : f ◦g?g◦f ? Page 1/4
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II – Image directe d’une partie
Définition 4 :
Soitf une application deEdansFetAune partie deE.
L’image de A par f est l’ensemble, noté f(A), contenant les images par f des éléments de A : f(A)=©
y∈F,∃x∈A, y=f(x)ª
=©
f(x),x∈Aª
(on af(A)⊂F).
Remarque : Ainsi f(A) contient les images de tous les éléments deA(petite figure). On note que l’image d’un singleton par une application est un singleton.
Exemple 4 :
1o) Déterminer l’image de ]3 ; 5], de [1, 3[ puis de [4, 6] par l’application f :
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R\ {3} −→ R x 7−→ x2−1
3−x . 2o) Montrons que∀(A,A0)∈¡
P(E)¢2
,A⊂A0=⇒f(A)⊂f(A0).
III – Injections, surjections, bijections
Dans tout le paragraphe,f désigne une application deEdansF.
1o) Injections et surjections
Définition 5 :
On dit quef estinjective(ou que c’est uneinjection) si∀(x,x0)∈E2, x6=x0=⇒f(x)6=f(x0) . Par contraposée, on déduit la proposition suivante :
Propriété 1 :
f est une application injective ssi∀(x,x0)∈E2, f(x)=f(x0)=⇒x=x0 .
Remarque : Pour une application injective, on retient (et on l’illustre par un beau dessin) que :
tout élément de l’ensemble d’arrivée admet au plus un antécédent par l’application. Par négation d’une appli- cation,f n’est pas injective si∃(x,x0)∈E2,x6=x0etf(x)=f(x0).
Exemple 5 : Les applications suivantes sont-elles injectives ? f :
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R −→ R x 7−→ x2 ,g:
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R −→ R x 7−→ 3e−x . Définition 6 :
On dit quef estsurjective(ou que c’est unesurjection) si ∀y∈F,∃x∈E,y=f(x) . Remarque : Pour une application surjective, on retient (et on l’illustre par un beau dessin) que :
tout élément de l’ensemble d’arrivée admet au moins un antécédent par l’application. Une autre caractérisa- tion de la surjectivité estF=f(E).
Exemple 6 : Les applications suivantes sont-elles surjectives ? f :
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R −→ R x 7−→ |x| ,g:
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R+∗ −→ R
x 7−→ 2 ln(3x) , l’application partie entière définie surR. Remarque : Toute applicationf deEdansFdéfinit une surjection deEdansf(E).
2o) Bijections et bijection réciproque Définition 7 :
On dit quef estbijective(ou que c’est unebijection) sif est injective et surjective.
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BCPST Applications Propriété 2 :
Une application f de E dans F est bijective ssi tout élément de F admet un unique antécédent par f :
∀y∈F ,∃!x∈E , y=f(x). Exemple 7 :
– Un des moyens simples pour montrer qu’une fonction numérique est bijective est le tableau de variation : par exemple, avec le tableau de variation suivant, la fonctionf : ]− ∞, 1]7−→[2, 4[ est une bijection.
x −∞ 1
4 f(x) &
2
– Étudier la bijectivité des applications suivantes :g:
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R −→ C θ 7−→ M¡
cos(θ), sin(θ)¢ , l’applicationgde l’exemple 6.
Si f est bijective deEdansF, à tout élémentydeF correspond un unique élémentx∈E (l’antécédent dey).
On définit ainsi une application deFdansE: Définition 8 :
Soitf une bijection deEdansF.
On appelle bijection réciproque de f l’application f−1 :
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F −→ E
y 7−→ f−1(y) définie par
∀y∈F,∀x∈E,x=f−1(y)⇐⇒y=f(x) .
Exemple 8 : On visualise ceci sur un diagramme, puis on s’intéresse aux bijections réciproques de la fonction carré, de la fonction inverse, de la fonction exponentielle, de l’application identité surE.
Exemple 9 : Montrer quef : x7−→x+1
x+2réalise une bijection d’un ensembleEdans un ensembleFà déterminer, et déterminerf−1.
Propriété 3 :
Si f est bijective de E dans F , alors f−1 est bijective de F dans E et sa bijection réciproque est f :
¡f−1¢−1
=f .
Démonstration : Immédiat.
Propriété 4 :
Si f est une bijection de E dans F et g est une bijection de F dans G, alors g◦f est une bijection de E dans G et (g◦f)−1=f−1◦g−1 .
Démonstration : On résout l’équation de recherche des antécédents parg◦f. Remarque : La réciproque est fausse.
De la définition de la bijection réciproque, on obtient : Théorème 1 :
Soit f une application de E dans F .
f est bijective si et seulement s’il existe une application g définie sur F et à valeurs dans E telle que g◦f =IdEet f◦g=IdF. Dans ce cas, on a f−1=g .
Démonstration :
Par double implication. Pour le sens⇐, on montre quef est surjective puis injective. Et on n’oublie pas pour la condition suffisante de montrer quef−1=g.
Remarque : A retenir : on déduit du théorème que sif :E7→Fest bijective, alors f◦f−1=IdF et f−1◦f =IdE . Page 3/4
BCPST Applications Exemple 10 :
1o) Écrire la composée de deux fonctions affines quelconques.
2o) En déduire une CNS pour qu’une fonction affine soit bijective, et l’expression de la bijection réciproque.
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