1 Fonctions affines.

1 Fonctions affines.

Exemples de fonctions affines f ( x ) = - 3x + 5 g ( x ) = 5x − 3 Exemples de fonctions constantes h ( x ) = − 3 i ( x ) = 2007 Exemples de fonctions linéaires j ( x ) = − 5x k ( x ) = 6x.

Exemple : f ( x ) = -2x + 5. Traçons la représentation graphique de f.

Pour trouver deux points de cette droite, je choisis deux valeurs de x ( pas trop proches ) et je calcule leurs images par f.

f ( - 2 ) = - 2 × ( - 2 ) + 5 = 4 + 5 = 9 f ( 2 ) = - 2 × 2 + 5 = - 4 + 5 = 1.

La droite représentant f passe par les points A et B de coordonnées respectives ( - 2 ; 9 ) et ( 2 ; 1 ).

L'ordonnée à l'origine correspond à l'ordonnée du point d'abscisse 0 c'est à dire C ( 0 ; 5 ).

Pour lire le coefficient directeur graphiquement, je pars d'un point et j'avance de une unité vers la droite.

Puis je descends du nombre égal au coefficient directeur.

2 Caractérisation d'une fonction affine.

Théorème :

Soit f une fonction affine.

Alors l'accroissement de l'image est proportionnel à l'accroissement de la variable.

Et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient directeur.

Soient x₁ et x₂ deux nombres réels.

f ( x₁ ) − f ( x2 ) = m ( x₁ − x2 ).

f ( x1 ) − f ( x2 ) ceci est l'accroissement de l'image.

m est le coefficient de proportionnalité.

( x₁ − x2 ) est l'accroissement de la variable.

Autrement dit m =

abscisses des

différence

ordonnées des

différence _.

Exemple : soit f une fonction affine telle que f ( - 1 ) = 5 et f ( 3 ) = - 7. Déterminons f.

f est une fonction affine.

Donc elle peut s'écrire sous la forme f ( x ) = mx + p avec m =

) 1 ( 3

) 1 ( f ) 3 ( f

−

−− − = 4

5 7−

− _{= − 3.}

Ainsi f ( x ) = − 3x + p.

Pour trouver p, je remplace x par - 1 dans l'expression précédente : f ( - 1 ) = - 3 × ( - 1 ) + p = 5 ⇔ 3 + p = 5 ⇔ p = 2.

Donc f ( x ) = − 3x + 2.

3 Variations.

Soit f la fonction affine définie par f ( x ) = m x + p.

Si m > 0 alors la fonction affine f est strictement croissante sur . Le tableau de variation de f est

x −∞ +∞

f

Soit f la fonction affine définie par f ( x ) = m x + p.

Si m < 0 alors la fonction affine f est strictement décroissante sur . Le tableau de variation de f est

x −∞ +∞

f

4 Points, droites et parallélisme.

On considère la droite d d'équation 3x − 2y = 5.

Est-ce que le point A de coordonnées ( -1 ; 1 ) est un point de d ?

Pour vérifier qu'un point appartient à une droite, je remplace x et y dans l'équation de la droite par les coordonnées du point.

3 × ( - 1 ) − 2 × 1 = − 3 − 2 = - 5 et - 5 ≠ 5.

Donc le point A n'est pas un point de la droite d.

Soit la droite d'équation 3x − 2y = 5. Trouvons d'autres équations de cette droite.

3x − 2y = 5 ⇔ − 2y = 5 − 3x ⇔ y = − 5 2 + 3

2 x = 1,5 x − 2,5.

y = 1,5x − 2,5 est une autre équation de la droite d.

6x − 4y = 10 est également une autre équation de la droite d.

Les droites suivantes sont elles parallèles ? D₁ : y = 3x + 2 ; D₂ : 6x − 2y + 4 = 0 et D3 : y = 3x + 5.

Le coefficient directeur de la droite D₁ est m₁ = 3.

6x − 2y + 4 = 0 ⇔ − 2y = − 4 − 6x ⇔ y = 2 + 3x.

Donc le coefficient directeur de la droite D₂ est m₂ = 3.

Le coefficient directeur de la droite D₃ est m₃ = 3.

Ainsi ces trois droites sont parallèles car elles ont toutes le même coefficient directeur m = 3.

D₁ et D₂ sont confondues.

D₁ et D₃ sont strictement parallèles.

Démonstration de propriétés.

Propriété 1

Soit k un nombre réel.

Alors l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tels que x = k est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Démontrons cette propriété.

Soit k un nombre réel.

Soit E l'ensemble des points de coordonnées ( x ; y ) tels que x = k.

Soit A le point de l'ensemble E d'ordonnée 0. Donc A a pour coordonnées ( k ; 0 ).

Soit M un point quelconque du plan de coordonnées ( x ; y ).

Alors ÄAM

( )

( )

⇔ ÄAM et Åj sont colinéaires ⇔ M appartient à une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Donc E est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Réciproque de la propriété 1

Toute droite D parallèle à l'axe des ordonnées est un ensemble de points dont les abscisses vérifient une relation du type x = k.

Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme x = k.

Cas particulier : l'axe des ordonnées a pour équation x = 0.

Démonstration

Soit D une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Soit A un point qui appartient à D.

Soit M un point quelconque du plan de coordonnées ( x ; y ).

Alors M ∈ D ⇔ ÄAM 









−−

A A

y y

x x _et ^→

j

( )

⇔ 1 × ( x − xA ) − 0 × ( y − yA ) = 0 ⇔ x − xA = 0 ⇔ x = xA. Donc D est l'ensemble des points M tels que x = x_A.

Propriété 2

Soient m et p deux nombres réels.

Alors l'ensemble des points dont les coordonnées ( x ; y ) vérifient la relation y = m x + p est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.

Réciproque de la propriété 2 Soient m et p deux nombres réels.

Alors l'ensemble des points dont les coordonnées ( x ; y ) vérifient la relation y = m x + p est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.

Démonstration : Soit ( O :

→

i , ^→j ) un repère du plan.

Soient A ( x_A ; y_A ) et B ( x_B ; y_B ) deux points distincts d'une droite D. Soit M un point du plan de coordonnées ( x ; y ).

M est un point appartenant à la droite D si et seulement si les points A, M et B sont alignés.

Les points A, M et B sont alignés si et seulement si les vecteurs ÄAM et ÄAB sont colinéaires.

Ecrivons la condition de colinéarité sachant que ÄAM 









−−

A A

y y

x

x _{et ÄAB}









−−

A B B A

y y

x x

( x − x_A ) × ( y_B− y_A ) − ( y − y_A ) × ( x_B− x_A ) = 0 Etudions les deux cas possibles :

Premier cas : x_A = x_B

Alors M ∈ D ⇔ ( x − xA ) × ( yB − yA ) = 0 ⇔ x − xA = 0 ou y_B − yA = 0 ⇔ x = xA ou y_B = y_A Or A et B sont deux points distincts. Donc y_A≠ y_B.

D'où la droite D admet une équation de la forme x = xA. Deuxième cas : x_A ≠ xB

M ∈D⇔ ( x − x_A ) × ( y_B− y_A ) − ( y − y_A ) × ( x_B− x_A ) = 0 M ∈ D ⇔ ( x − xA ) × ( yB − yA ) = ( y − yA ) × ( xB − xA ) M ∈ D ⇔ ( y − yA ) × ( xB − xA ) = ( x − xA ) × ( yB − yA )

M ∈ D ⇔ y ( xB − xA ) = x ( y_B − yA ) + y_A ( x_B − xA ) − xA ( y_B − yA ) M ∈ D ⇔ y = x ×

A B

A B

x x

y y

−

− _{+ y}

A ×

A B

A B

x x

x x

−

− _{− x}

A ×

A B

A B

x x

y y

−

−

M ∈ D ⇔ y = m x + p En posant m =

A B B A

x x

y y

−

− _{et p = y}

A − xA ×

A B B A

x x

y y

−

−

Donc la droite D admet une équation de la forme y = m x + p.