X2016 – PC 1
RAPPELS : th´ eorie des ensembles
Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr
1 Op´ erations sur les ensembles
SoitE un ensemble non vide.
Sous-ensembles.On ´ecritA⊂E et on dit que Aest un sous-ensemble deE si pour toutx∈A, on a x∈E.
Compl´ementaire.Si A⊂E, on noteA ={x∈E :x6∈A} le compl´ementaire deA dansE (Aest un ensemble consitu´e des ´el´ements deE qui ne sont pas dansA). Si A⊂B, on note B\A les ´el´ements deB qui n’appartiennent pas `a A. Alors B\A=B∩A.
Union. Soit I un ensemble quelconque (on voit I comme un ensemble d’indices), et soit (Ai)i∈I une collection de sous- ensembles deE. AlorsS
i∈IAi d´esigne le sous-ensemble deE form´e des ´el´ements xtels qu’il existei∈I avecx∈Ai. Intersection.Soit I un ensemble quelconque (on voit I comme un ensemble d’indices), et soit (Ai)i∈I une collection de sous-ensembles deE. AlorsT
i∈IAid´esigne le sous-ensemble deEform´e des ´el´ementsxtels que pour touti∈Ion ax∈Ai. Unions, intersections et compl´ementaires. SoitIun ensemble quelconque (on voitIcomme un ensemble d’indices), et soit (Ai)i∈I une collection de sous-ensembles deE. On rappelle que :
[
i∈I
Ai=\
i∈I
Ai, \
i∈I
Ai=[
i∈I
Ai.
Egalit´´ e de deux ensembles.SiAetBsont deux ensembles, pour montrer queA=B, on raisonne tr`es souvent par double inclusion, en montrant que six∈A, alorsx∈B, puis que six∈B, alorsx∈A.
Ensemble des parties.On noteP(E) l’ensemble des sous-ensembles deE (aussi appel´e l’ensemble des parties de E).
Produit cart´esien d’ensembles.SiE1, . . . , Ensont des ensembles, on noteE1×· · ·×Enl’ensemble desn-uplets (x1, . . . , xn) tels quex1∈E1, x2∈E2, . . . , xn∈En. SiIest un ensemble, on noteEI l’ensemble des applications deIdansE. Un ´el´ement deEI est usuellement note (ei)i∈I.
2 Image directe, image r´ eciproque
SoientX etY deux ensembles. Soit f :X →Y une application.
(∗) Image directe.SiA⊂X est un sous-ensemble deX, on notef(A) lesous-ensembledeY d´efini par f(A) ={y∈Y : il existex∈Atel quey=f(x)}.
On ´ecrit parfoisf(A) ={f(x) :x∈A}.
(∗) Image r´eciproque.SiB ⊂Y est un sous-ensemble deY, on note f−1(B) lesous-ensembledeX d´efini par f−1(B) ={x∈X:f(x)∈B}.
On a f(x)∈B si et seulementx∈f−1(B). On af(A)⊂B si et seulement siA⊂f−1(B).
ATTENTION.Si y ∈Y, la notationf−1(y) n’a pas toujours un sens (sauf si f est injective), alors quef−1({y}) si. En revanche, six∈X,f(x) a toujours en sens (c’est un ´el´ement deY), de mˆeme que f({x}) (qui est un sous-ensemble de Y qui est{f(x)}).
(∗) Composition d’images r´eciproques. Soient X, Y, Z des ensembles et f : X → Y, g : Y → Z des applications.
Alors pour tout sous-ensemble B⊂Z deZ on a
(f◦g)−1(B) =g−1(f−1(B)), qui sont des sous-ensembles deX.
3 = 1+2
Soitf :X →Y une application. Soit I un ensemble quelconque (on voit I comme un ensemble d’indices), soit (Ai)i∈I
une collection de sous-ensembles deX et soit (Bi)i∈I une collection de sous-ensembles deY. Alors f [
i∈I
Ai
!
=[
i∈I
f(Ai) et
f−1 [
i∈I
Bi
!
=[
i∈I
f−1(Bi), f−1 \
i∈I
Bi
!
=\
i∈I
f−1(Bi). De plus, siA⊂B⊂Y, on af−1(B\A) =f−1(B)\f−1(A).
ATTENTION.Il n’est pas vrai en g´en´eral quef T
i∈IAi
=T
i∈If(Ai) (trouvez un contre-exemple !)
Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.
