1 Images r´ eciproques

L3 MAPI3 2014–2015

TD 1. Int´ egration et Probabilit´ es

1 Images r´ eciproques

Montrer qu’une union (resp. intersection) d´ enombrable d’images r´ eciproques est l’image r´ eciproque de l’union (resp. intersection). Mˆ eme question pour les compl´ ementaires. Quant est il pour les images directes ?

2 Indicatrices

Soient A, B, C trois ensembles mesurables. Exprimer ` a l’aide des op´ erations sur les en- sembles, les ´ ev´ enements suivants et calculer leurs indicatrices en fonction de celles de A, B, C :

”A est r´ ealis´ e seul.”

”A et B sont r´ ealis´ es mais pas C.”

”Un des trois ´ ev´ enements est r´ ealis´ e.”

”Deux ´ ev´ enements au plus sont r´ ealis´ es.”

”aucun ´ ev´ enement n’est r´ ealis´ e.”

3 lim

Soit (A

) une suite d’´ ev´ enements, ´ ecrire ` a l’aide des op´ erations ∪ et ∩ l’´ ev´ enement suivant lim

A

”tous les A

` a partir d

un certain rang se produisent.”

Calculer l’indicatrice de lim

A

en fonction de celles des A

.

4 Mesurabilit´ e

Soit (f

) une suite de fonctions mesurables. Prouver que sup

f

, inf

f

, lim

f

et lim

f

sont aussi mesurables.

5 Fonctions mesurables

– Montrer qu’une fonction continue de R dans R est mesurable.

– Soient (Ω, A), (Ω

, A

) deux espaces mesurables et P (Ω) l’ensemble des parties de Ω. Pour

A = P (Ω), A

= {Ω

, ∅} quelles sont les fonctions mesurables de (Ω, A) dans (Ω

, A

) et

r´ eciproquement.