M2 mathématiques générales 2019-2020 Cours général d’algèbre
Université de Franche-Comté C. Armana
Feuille d’exercices n◦1
La méthode du pivot de Gauss et ses applications
Dans toute la feuille, K désigne un corps commutatif.
Exercice 1. Dire si les matrices suivantes à coefficients dansK sont échelonnées réduites selon les lignes :
1 3 1 0 2 0 0 1 2 4 0 0 1 7 3 0 0 0 1 6
,
0 1 5 4 0 2 0
0 0 0 0 1 −1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
,
1 3 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0
.
Aspects pratiques
Les exercices suivants sont à résoudre par la méthode du pivot avec opérations élémentaires sur les lignes uniquement. Il est impératif d’apprendre à les traiter et de comprendre les méthodes sous-jacentes.
Exercice 2 (Étude d’une application linéaire). Soient E (resp. F) un K-espace vectoriel de dimension 6 (resp. 4) muni d’une base (u1, . . . , u6) (resp. (v1, . . . , v4)). Soit f : E → F l’application linéaire dont la matrice dans les bases (u1, . . . , u6) et (v1, . . . , v4) est :
−3 9 −2 3 5 4
1 −3 1 −1 −2 0
8 −24 4 −12 −4 −8
−1 3 0 −2 7 10
.
Déterminer : 1) le rang def;
2) une base de Imf, et exprimer les vecteursf(u1), . . . , f(u6) dans cette base ; 3) une base de Kerf;
Exercice 3 (Calcul d’inverse). CalculerA−1 où A=
1 2
1
2 0
2 0 −1 3 1 −2
∈M3(Q).
Exercice 4 (Résolution d’un système linéaire). En utilisant la matrice échelonnée réduite de (A|B), résoudre les systèmes linéairesAX =B d’inconnueX∈K3 :
1)A=
1 2 −3
3 −1 2
8 2 −2
,B =
−1 7 9
2)A=
2 1 −2
1 1 4
7 5 1
,B=
10
−9 14
3)A=
1 −3 7
1 2 −3
7 4 −1
,B =
−4 6 22
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Exercice 5 (Supplémentaire / Complétion d’une famille libre en une base).
1) Compléter la famille (v1 = (2,0,1), v2 = (−1,1,3)) en une base deK3.
2) Dans K4 on considère v1= (1,1,2,0),v2= (0,0,1,0) etF = Vect(v1, v2). Déterminer un supplémentaire de F dansK4.
Exercice 6 (Somme et intersection de sous-espaces vectoriels). Soient F = Vect(v1, v2, v3) et G= Vect(w1, w2) dansK4 où
v1 = (1,2,3,4), v2 = (0,1,1,0), v3 = (1,1,2,1) w1 = (2,3,3,2), w2 = (1,2,1,1).
En utilisant la matrice échelonnée réduite de (v1, v2, v3, w1, w2), déterminer une base deF+G et une base deF∩G.
Même question pourF = Vect(v1, v2, v3) et G= Vect(w1, w2, w3) avec v1 = (1,0,0,0), v2= (0,1,0,0), v3= (0,0,1,0) w1 = (0,0,0,1), w2= (1,1,−1,1), w3= (1,2,0,1).
Exercice 7 (Pratique de l’engendrement de SLn(K) par les transvections).
SoitM = 2 3 0 12
!
∈SL2(Q). Écrire M comme produit de matrices de transvections. Même question pour la matrice de l’exercice 3.
Aspects théoriques
Exercice 8 (Topologie de certains espaces de matrices). (Archi-classique, à connaître) 1) PourK =Rou C, montrer que l’ensemble SLn(K) est connexe par arcs.
2) Montrer que GLn(C) est connexe.
3) L’ensemble GLn(R) est-il connexe ?
4) Montrer que les ensembles GL+n(R) = {M ∈ GLn(R),detM > 0} et GL−n(R) = {M ∈ GLn(R),detM <0} sont connexes.
Exercice 9 (Multiplication à gauche par une matrice inversible et noyau). (Instructif) Soient A, A0 dansMm,n(K). Montrer que :
∃P ∈GLm(K) A0 =P A ⇐⇒ KerA0= KerA.
Indication pour⇐ : écrire l’énoncé équivalent en termes d’applications linéairesf, f0; considérer un supplémentaire de Kerf, une base (v1, . . . , vr) de ce sous-espace puis les images parf etf0de (v1, . . . , vr).
Exercice 10 (Unicité de l’échelonnée réduite dans une orbite). Soient A, B deux matrices échelonnées réduites de Mm,n(K). On suppose qu’il existe P ∈ GLm(K) telle que B = P A.
Montrer queB =A.
Indication : raisonner par récurrence sur le nombrende colonnes ; siA, B∈Mm,n+1(K), les décomposer en (A0|An+1) et (B0|Bn+1) où An+1, Bn+1 sont leur dernière colonne ; commencer par montrer que B0=A0.
Exercice 11(Stabilisateur d’une matrice échelonnée réduite). SoitM ∈Mm,n(K) une matrice échelonnée réduite. On noter son rang. Montrer que le stabilisateur deM pour l’action par multiplication à gauche par GLm(K) est l’ensemble des matrices de la forme
Ir Ar,m−r
0m−r,r Bm−r,m−r
!
oùAr,n−r∈Mr,m−r(K),B ∈GLm−r,m−r(K).
