Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre
M1 math´ematiques Ann´ee 2006-07
F. Conduch´e - L. Merel
EXAMEN du 10 janvier 2007 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document autre que le polycopi´e ou les notes de cours est interdit.
Soientaetb des entiers. Consid´erons le polynˆomeP(X) =X4+aX2+b∈Z[X].
I
1. Donner des exemples de valeurs deaetb telles queP ait 4 (resp. 2, resp. 0) racines r´eelles.
2. Soitpun nombre premier. Soitqune puissance dep. Montrer que la r´eduction ˜P modulopdeP admet une racineαdans un corps `aq´el´ements si et seulement si les polynˆomes ˜P,Xq−X∈Fp[X] ont un facteur commun.
3. `A quelle condition sur a et b, la r´eduction modulo 2 (resp. modulo 3) de P est-elle irr´eductible surF2
(resp. surF3) ?
4. Donner des exemples de valeurs deaetb telles queP soit irr´eductible surQet poss`ede exactement deux racines r´eelles.
5. Calculer le discriminant deP. En d´eduire pour quelle valeurs deaet b,P admet une racine multiple.
II NotonsLle corps de d´ecomposition dans CdeP.
1. Soitα∈L une racine deP. D´emontrer que toute racine deP est dans une extension quadratique d’une extension quadratique deQ. En d´eduire que l’extensionQ(α)|Qest de degr´e 1, 2 ou 4.
2. Montrer queL=Q(α, β), o`uαet β sont des racines deP bien choisies. Montrer que de plus l’extension Q(α, β)|Q(α) est alors de degr´e 1 ou 2.
3. Montrer que l’extensionL|Qest de degr´e divisant 8.
4. Le corpsL contient-il une extension de degr´e 3 surQ?
5. Donner des exemples de valeurs deaetb pour lesquellesL|Qest de degr´e 8.
6. Montrer que l’extensionL|Qest galoisienne.
III NotonsGle groupe de Galois de l’extensionL|Q.
1. Montrer queGs’identifie `a un sous-groupe du groupe sym´etriqueS4. 2. Montrer queGest un 2-groupe.
3. SoitG2 un 2-sous-groupe de Sylow deS4. Quel est son ordre ? Est-il ab´elien ? ChoisirG2en donnant la liste de ses ´el´ements.
4. Donner des exemples de valeurs deaetb pour lesquellesGest isomorphe `aG2.
5. Y a-t-il des exemples de valeurs de aet b pour lesquelles Gest cyclique d’ordre 8, produit d’un groupe cyclique d’ordre 4 et d’un groupe d’ordre 2, produit de deux groupes cycliques d’ordre 2 ?
6. Donner la liste des sous-groupes deG2.
7. Supposons queGsoit isomorphe `aG2. CombienLa-t-il de sous-corps de degr´es 1, 2, 4 et 8 respectivement surQ?
8. PosonsP=X4−5. Donner la liste des sous-corps deLen indiquant des g´en´erateurs de ces corps surQ.
![Montrer que tout irr´eductible de A est irr´eductible dans A[X]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)