ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 7 2 février 2016
Deux exercices au choix, dont au moins un de probabilités.
Probabilités.
Exercice I. (réservéDS3<7)
Pour se rendre au lycée, un élève a le choix entre 4 itinéraires A,B,C,D.
Il choisit A (resp. B,C) une fois sur 3 (resp.4,12).
La probabilité d'arriver en retard en empruntant A (resp. B,C) est 1
20 (resp. 1 10, 1
5). En empruntant l'itinéraire D, il n'est jamais en retard.
On notera les diérents évènements associés A,B,C,D,R.
1. Quelle est la probabilité que l'élève choisisse le chemin D ?
2. Quelle est la probabilité que l'élève arrive en retard un jour quelconque ?
3. L'élève arrive en retard. Quelle est la probabilité qu'il ait emprunté l'itinéraire C ? Exercice II.
Dans une classe de30 élèves, déterminer la probabilité qu'au moins deux personnes soient nées le même jour.
Exercice III.
1. Dans quel(s) cas deux évènements disjoints peuvent-ils être indépendants ?
2. Montrer qu'un évènement de probabilité nulle est indépendant de tout autre évènement.
Applications.
Exercice IV.
Vérier que la fonction f dénie surR+ par f(x) = −1 3 ln(√
x+e) est une bijection deR+ dans un intervalle J à déterminer, et donner sa réciproque.
Exercice V.
Montrer que l'équation ex+x =−1 admet exactement une solution surR, et en donner un encadrement par deux entiers (sans utiliser la calculatrice !).
Matrices.
Exercice VI.
Existe-t-il beaucoup de matricesM ∈ M2(R) vériant M2 =O2? Si oui, pouvez-vous toutes les déterminer ? On pourra poserM =
a b c d
. Exercice VII.
Soit M =
1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1
etJ =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. On noteI =I3 la matrice identité.
1. Calculer J2, et en déduireJk, pourk∈N∗. 2. Exprimer M en fonction deI etJ.
3. A l'aide de la formule du binôme de Newton, montrer que ∀n∈N, Mn= 3nI+ (−1)n−1 3n−1J. 1/1
