1. MATRICES DE CONNEXION

(1)

EQUATIONS DIFF´ ´ ERENTIELLES p-ADIQUES

DANS LES ANNEAUX D’OP ´ ERATEURS DIFF´ ERENTIELS EN IN ´ EGALE CARACT´ ERISTIQUE

Alberto Arabia

TABLE DE MATI ` ERES

1 Matrices de connexion 1

1.1 Proc´eduresMapledestin´ees au calcul de la matriceC(P,m) 2

1.2 Exemples num´eriques de matrices de connexion 4

1.3 Exemple d’aﬃchage lors du calcul des matrices de connexion 5

1.4 ProcéduresMapleauxiliaires pour l’étude des matrices de connexion 6 1.5 Exemples numériques des procédures auxiliaires dans l’étude des matrices de connexion 6

2 Solutions formelles d’équations différentielles 6

2.1 Proc´edureMaplepour le calcul des matrices _k!¹C(P,m,k) 7

2.2 Exemples num´eriques des matrices _k!¹C(P,m,k) 7

2.3 Exemple d’aﬃchage et d´elais des calculs 8

3 Normes et rayon de convergence 8

3.1 Proc´eduresMaplepour le calcul des normes 9

3.2 Proc´edureMaplepour le calcul des rayons de convergence 10

3.3 Exemple num´erique de calcul des rayon de convergence 11

3.4 Procédures complémentaires dans l’étude des séries formelles 12 3.5 Exemples numériques d’études complémentaires des séries formelles 13 4 Vecteurs cycliques, polynômes indiciels et exposants formels 13 4.1 ProcédureMaplepour la détection d’un vecteur cyclique 14

4.2 Exemples num´eriques de vecteurs cycliques 15

4.3 ProcédureMaplepour le calcul des polynômes indiciels et exposants formels 18 4.4 Exemples numériques de calcul des polynômes indiciels et exposants formels 19

5 Conclusion 20

1. MATRICES DE CONNEXION

Soit p un nombre premier, notons F

p

le corps ` a p ´ el´ ements et Z

p

l’anneau des entiers p- adiques. Fixons un polynˆ ome P ∈ F

^p

[X

1

, . . . , X

n

] et notons P un rel` evement de P dans l’anneau Z

p

[X

1

, . . . , X

n

]. On notera deg(P ) et deg

_i

(P) respectivement : le degr´ e polynˆ ome total de P et celui relatif ` a la variable X

i

.

Soit Z

p

[π] l’extension de Z

p

d´ eﬁnie par la relation alg´ ebrique : π

^p⁻¹

+ p = 0 et notons A

p,n

l’anneau Z

^p

[π][X

1

, . . . , X

n

, y

⁻¹

, y], o` u y d´ esigne une variable abstraite. Fixons un entier positif m > deg(P ), appel´ e d´ eformation, et consid´ erons la famille d’op´ erateurs diﬀ´ erentiels Z

p

[π]-lin´ eaires sur A

p,n

:

 



 

∇

ⁱ

: f →

_∂X^∂_i

(f) + π

_∂X^∂

i

P + y

n k=1

X

km

f , pour 1 ≤ i ≤ n;

∇

y

: f →

_∂y^∂

(f ) + π

n

k=1

X

km

f .

(^∗) Université Paris 7-Denis Diderot; 175, rue du Chevaleret, neuvième étage, bureau 9D11, 75013 Paris.

UFR de Mathématiques. Théorie des Groupes, Représentations et Applications.

Adresse électronique :arabia@mathp7.jussieu.fr Téléphone : (1) 44 27 79 57. Fax : (1) 44 27 78 18.

(2)

Le module quotient :

M(P, m) :=

n

A

p,n i=1

∇

ⁱ

(A

p,n

) ,

est alors un Z [π, y, y

⁻¹

]-module libre de rang (m − 1)

ⁿ

de base canonique : la famille des

“monˆ omes”

ⁿ_i=1

X

iαi

, o` u 0 ≤ α

i

≤ m − 2. L’op´ erateur ∇

y

op` ere naturellement sur M(P, m) et la matrice de la connexion associ´ ee, relativement ` a la base canonique, not´ ee C(P, m), est une matrice carr´ ee, ind´ ependante de p, ` a (m − 1)

ⁿ

lignes et colonnes et ` a coefﬁcients dans l’anneau Z

p

[π, y

⁻¹

].

La matrice C(P, m) joue un rˆ ole fondamental dans la th´ eorie, mais la r´ eduction des ´ el´ ements

∇

^y

(

ⁿ_i=1

X

iαi

) = π

ⁿ_k=1

X

km

n

i=1

X

iαi

∈ A

p,n

, modulo les relations

n

i=1

∇

ⁱ

(A

p,n

), est d´ eﬁnitivement inaccessible au calcul manuel en dehors de cas triviaux, inint´ eressants sur le plan th´ eorique. L’informatique est ainsi devenue incontournable pour la d´ etermination explicite des matrices de connexion; la sous-section suivante donne les proc´ edures Maple que nous avons r´ edig´ ees pour leur calcul.

1.1 Proc´ edures Maple destin´ ees au calcul de la matrice C(P, m)

#########################################################################

####################### RELATIONS DE LA CONNEXION #######################

relaciones:=proc() #

Cette procédure génère la suite relacion^[1^],...,relacion^[n^] oùrelacion[i]est une liste d’équivalents modulo n

i=1∇i(Ap,n), des termes X_i^αi avecm₋1≤α_i_≤2(m₋1), pouvant intervenir dans l’explicitation de_∇y.

Le degré total, ainsi que les degrés rela- tifs aux différentes variablesXk, de l’équi- valent associé àX_i^αi, vérifient des majo- rations garantissant la convergence de la procédurereduit.

local i,k,temp:

global relacion,F,m,n ; for i from 1 to n do

relacion[i]:=[]:

for k from 0 to m-1 do relacion[i]:=

[op(relacion[i]), solve(

collect(

diff(x[i]^k,x[i])+PPi*(diff(F,x[i])+y*diff(x[i]^m,x[i]))*x[i]^k, x[i]

),

x[i]^(k+m-1) )

]:

od:

end:

#########################################################################

########################## BASE DE MONOMES #######################

bon:=proc(Pol) #

Teste la conditionsup

{

^degⁱ⁽^Pol⁾

}

^≤^m⁻²

local i,flag:

flag:=true:

for i from 1 by 1 to n do if degree(Pol,x[i]) > m-2 then

flag:=false:

fi:

od:

RETURN(flag):

end:

#########################################################################

########################### BASE DE M(P,m) #############################

genere_base:=proc() #

Génère la liste Base contenant les éléments

n

i=1X_i^αide la base canonique deM(P,m). La base est obtenue en developpant

(X₁+···+Xn)ⁱ

pour1≤i_≤n(m₋2)et en receuillant les monˆomes de bons degr´es.

local i,h,temp,y:

global Base,card_base,monome,liste_var ; for i from 1 by 1 to n*(m-2) do

temp:=monome^(i):

if n=1 then

Base:=[op(Base),temp]:

else

temp:=sort(expand(temp),liste_var):

for h from 1 by 1 to nops(temp) do y:=op(h,temp):

if bon(y) then

Base:=[op(Base),y/tcoeff(y)]:

fi:

od:

fi:

od:

card_base:=nops(Base):

lprint(`Cardinal de la base:`,card_base):

end:

(3)

#########################################################################

##################### REDUCTION MODULO RELATIONS ######################

reduit:=proc(PP) #

Détermine l’élément reduit(PP) vérifiant

sup

{

^degⁱ⁽^reduit⁽^PP⁾⁾

}

^≤^m⁻²^,

´equivalent, modulo n

i=1∇i(Ap,n), d’un ´el´ementPP∈Ap,n.

local i,temp,dg,L,FLAG:

global relacion,trainnee ; trainnee:=``:

temp:=PP:

FLAG:=1:

while FLAG = 1 do #

D´ebut de la boucle de r´eduction.

Elle réduit successivement, à l’aide des listes relacion[i], les degrés en chaque variableX_k d’un polynôme temp, jusqu’à les rendre tous majorés parm₋2.

FLAG:=0:

L:=[]:

for i from 1 to n do temp:=collect(temp,x[i]):

L:=[op(L),degree(temp,x[i])]:

od:

dg:=max(op(L)):

if dg > m-2 then FLAG:=1:

member(dg,L,’i’):

if dg <= 2*(m-1) then trainnee:=cat(trainnee,`.`):

temp:=subs(x[i]^dg=op(dg-(m-2),relacion[i]),temp):

else

trainnee:=cat(trainnee,`*`):

temp:=subs(x[i]^dg=(op(m,relacion[i]))*x[i]^(dg-2*(m-1)),temp):

fi:

temp:=collect(expand(temp),liste_var):

fi:

od:

RETURN(temp):

end:

#########################################################################

####################### MATRICE DE LA CONNEXION #######################

####################### PROCEDURE INTERNE #######################

genere:=proc() #

Calcule la matrice de connexion Mat:=C(P,m).

local i,k,h,temp,b,yy,dg,sec,secc,texte,champ:

global Base,card_base,trainnee,Mat,facteur ; secc:=time():

print(`MATRICE DE LA CONNEXION`):

Mat:=array(1..card_base,1..card_base):

for i from 1 by 1 to card_base do sec:=time():

temp:=collect(facteur*op(i,Base),list_var):

temp:=reduit(temp): #

Appel `a la sous-routine de r´eduction modulo n

i=1∇i(Ap,n). for h from 1 by 1 to card_base do

b:=op(h,Base):

yy:=temp:

for k from 1 to n do dg:=degree(b,x[k]):

yy:=collect(yy,x[k]):

yy:=coeff(yy,x[k],dg):

od:

Mat[h,i]:=collect(yy,y):

od:

sec:=temps(time()-sec):

champ:=gformat(i,2):

texte:=cat(`Colonne `,champ,

` de la mat. de connexion calculee. Delai:=`,sec,trainnee):

lprint(texte):

od:

secc:=temps(time()-secc):

lprint(`DELAI TOTAL DE LA SOUS-ROUTINE:=`,secc):

Pause():

end:

#########################################################################

####################### MATRICE DE LA CONNEXION #######################

####################### PROCEDURE PRINCIPALE #######################

connexion:=proc(a,nn,b) #

Cette procédure calcule et affiche à l’écran la matrice de connexionC(a,b) pour un polynôme a∈Ap,nn et une déformationb>deg(a⁾.

local i:

global Base,Mat,monome,facteur,liste_var,F,n,m ; F:=a: #polynome

n:=nn: #nombre de variables m:=b: #deformation Base:=[1]:

#generation de la liste des variables x[1],...,x[n]

#et des elements x[1]+...+x[n] et x[1]^m+...+x[n]^m liste_var:=[]:

monome:=0:

facteur:=0:

for i from 1 to n do

(4)

monome:=monome+x[i]:

facteur:=facteur+x[i]^m:

liste_var:=[op(liste_var),x[i]]:

od:

facteur:=PPi*facteur:

# # Appel des sous-routines principales

genere_base():

relaciones():

interface(quiet=true) ; genere():

#

Mat:=scalarmul(Mat,-1):

Mat:=map(collect,map(collect,Mat,PPi),y):

if nops(Base)<20 then

print(Mat): # Aﬃchage la matrice de connexion

else lprint(

`Trop d’elements dans la base pour afficher la matrice de la connexion !!!`):

fi:

end:

1.2 Exemples num´ eriques de matrices de connexion

Voici quelques explicitations des matrices de connexion C(P, m) obtenues en ex´ ecutant les scripts pr´ ec´ edents.

• Pour le polynˆ ome P = X

³

∈ A

p,1

et les d´ eformations 4, 5, 6, 7, et 8, on obtient :

C(X

³

, 4) =



 

1

4y −3

16y²

9 64y³

0

₂¹_y _8y⁻³2

−9π 16y²

27π

64y³ −81π 256y⁴

+

_4y³



 

C(X

³

, 5) =



 



1

5y

0

_25y⁻³2

0

₅²_y

0

₂₅⁻_y⁶2

0

⁻_25y⁹^π2

3 5y

27π 125y³ 3π

5y

0

⁻_25y⁹^π2

4 5y



 



C(X

³

, 6) =



 



1

6y

0 0

₁₂⁻_y¹2

0

₃¹_y

0 0

₆⁻_y¹2

0 0

₄⁻_y^π2

+

₂¹_y

0 0

π

2y

0 0

₄⁻_y^π2

+

_3y²

0

₂^π_y

0 0

_4y⁻^π2

+

₆⁵_y



 



C(X

³

, 7) =



 

 

1

7y

0 0 0

₄₉⁻_y³2

0

₇²_y

0 0 0

_49y⁻⁶2

0 0

₇³_y ₄₉⁻^9π_y2

0 0

3π

7y

0 0

_7y⁴ ₄₉⁻^9π_y2

0

^3π₇_y

0 0

_7y⁵ ⁻_49y⁹^π2

0 0

^3π₇_y

0 0

₇⁶_y



 

 

C(X

³

, 8) =



 



1

8y

0 0 0 0

_64y⁻³2

0

₄¹_y

0 0 0 0

_32y⁻³2

0 0

₈³_y

0

₆₄⁻^9π_y2

0 0

3π

8y

0 0

_2y¹

0

⁻_64y⁹^π2

0

^3π₈_y

0 0

_8y⁵

0

⁻_64y⁹^π2

0 0

^3π₈_y

0 0

₄³_y

0 0 0 0

³_8y^π

0 0

₈⁷_y



 



(5)

• Pour le polynˆ ome P = X

1

+ X

2

+ X

3

∈ A

p,3

et les d´ eformations 2 et 3, on obtient : C(X

1

+ X

2

+ X

3

, 2) =

₋_3π

4y²

+

₂³_y

C(X

1

+ X

2

+ X

3

, 3) =



 



1

y −π

9y² −π

9y²

0 0 0 0

π 3y

4

3y

0 0

₉⁻_y^π2 −π

9y²

0 0

π

3y

0

₃⁴_y

0

₉⁻_y^π2

0

₉⁻_y^π2

0

π

3y

0 0

₃⁴_y

0

₉⁻_y^π2 −π

9y²

0

_3y^π ₃^π_y

0

₃⁵_y

0 0

_9y⁻^π2

0

_3y^π

0

₃^π_y

0

₃⁵_y

0

_9y⁻^π2

0 0

₃^π_y ₃^π_y

0 0

₃⁵_y _9y⁻^π2

0 0 0 0

₃^π_y ₃^π_y ₃^π_y ²_y



 



• Pour le polynˆ ome P = X

₁²

+ X

₂

∈ A

_p,2

et d´ eformation 3 et 4 :

C(X

₁²

+ X

2

, 3) =



 



2

3y −2

9y² −π

9y²

0

−4π 9y²

8π

27y³

+

_y¹

0

₉⁻_y^π2

π

3y

0

_y¹ ₉⁻_y²2

0

₃^π_y ⁻₉⁴_y^π2

8π 27y³

+

₃⁴_y



 



C(X

₁²

+ X

2

, 4) =



 

 

1

2y

0 0

₈⁻_y¹2

0

_16y⁻^π2

0 0 0

0

₄⁻_y^π2

+

_4y³

0 0 0 0 0

_16y⁻^π2

0

π

4y

0

₄³_y

0 0 0

₈⁻_y¹2

0 0

π

2y

0 0

_y¹

−

₄^π_y²

0 0 0 0

₁₆⁻^π_y2

0

₄^π_y

0 0

_y¹

−

_4y^π²

0 0 0 0

0 0

₄^π_y

0 0

_y¹

0 0

₈⁻_y¹2

0 0

₂^π_y ₄^π_y

0 0

_4y⁻^π2

+

₄⁵_y

0 0

0 0 0 0

₄^π_y

0 0

₄⁻_y^π2

+

₄⁵_y

0 0 0 0 0 0

₂^π_y _4y^π

0

₄⁻_y^π2

+

_2y³



 

 

Remarque : Plusieurs conjectures concernant le comportement asymptotique des matrices C(P, m), en fonction de m, ont pu ˆ etre test´ ees ` a l’aide de ces proc´ edures et de celles de 1.4.

1.3 Exemple d’aﬃchage lors du calcul des matrices de connexion

Pour P = X

12

+ X

2

, d´ eformation m = 4, le calcul de C(X

₁²

+ X

2

, 4) aﬃche :

************************************************************

Cardinal de la base: 9

MATRICE DE LA CONNEXION

Colonne 1 de la mat. de connexion calculee. Delai:=0.05s... #

La suite des points en fin de chaque ligne indique le nombre d’itérations de la boucle de réduction.

Colonne 2 de la mat. de connexion calculee. Delai:=0.05s....

Colonne 3 de la mat. de connexion calculee. Delai:=0.05s...

DELAI TOTAL DE LA SOUS-ROUTINE:= 0.516s.

(6)

1.4 Proc´ edures Maple auxiliaires pour l’´ etude des matrices de connexion

#########################################################################

####################### ROUTINES AUXILIAIRES #######################

diagonale:=proc(deg) #

Aﬃche les termes de degr´edegenyde la diagonale de la matrice de connexion courante.

local i,L:

global card_base,Mat ; interface(quiet=true):

L:=[]:

for i from 1 to card_base do

L:=[op(L),coeff(Mat[i,i],y,deg)*y^(deg)]:

od:

print(L):

interface(quiet=false):

end:

####################################

sousmat:=proc(dg) #

Calcule et aﬃche la matrice des termes de degr´edgenyde la matrice de connexion courante.

local i,j,A:

global card_base,Mat ; interface(quiet=true):

A:=array(1..card_base,1..card_base):

for i from 1 to card_base do for j from 1 to card_base do

A[i,j]:=coeff(Mat[i,j],y,dg)*y^dg:

od:

print(A) ;

end:

1.5 Exemples num´ eriques des proc´ edures auxiliaires dans l’´ etude des matrices de connexion

Pour l’exemple o` u P = X

12

+ X

2

et m = 3, on a :

• Proc´ edure : diagonale.

diagonale( −3) ⇒

0, 8 π

27 y

³

, 0, 8 π 27 y

³

.

• Proc´ edure : sousmat.

sousmat( −2) ⇒



 



0

₉⁻_y²2 −π

9y²

0 −

_9y⁴^π²

0 0

₉⁻_y^π2

0 0 0 −

_9y²²

0 0

⁻_9y⁴^π2

0 

 

 ; sousmat( −3) ⇒



 

 

0 0 0 0

0

_27y⁸^π3

0 0

0 0 0 0

0 0 0

_27y⁸^π3



 

  .

2. SOLUTIONS FORMELLES D’´ EQUATIONS DIFF´ ERENTIELLES

Pour chaque t ∈ Z

p

[π] diﬀ´ erent de 0, on s’int´ eresse au d´ eveloppement en s´ erie enti` ere en (y − t) de la solution de l’´ equation diﬀ´ erentielle

∂

∂y

(F ) + C(P, m) · F = 0 ,

o` u F d´ esigne une matrice carr´ ee ` a (m − 1)

ⁿ

lignes et colonnes ` a coefﬁcients dans Z

p

[π][[y − t]]

v´ eriﬁant la condition F (t) = Id. On a donc : F (y) =

k≥0

1 k! C(P, m, k)(t)(y − t)

^k

, o` u les matrices C(P, m, k) v´ eriﬁent la r´ ecurrence :

 

 

 



C(P, m, 0) = Id;

C(P, m, 1) = C(P, m);

C(P, m, k + 1) =

_∂y^∂

C(P, m, k)

+ C(P, m, k) · C(P, m).

(7)

2.1 Proc´ edure Maple pour le calcul des matrices

_k!¹

C(P, m, k) Dans ces proc´ edures, on a not´ e G k la matrice

_k!¹

C(P, m, k).

#########################################################################

############################ MATRICES G_k #############################

genere_G:=proc(M,ordre) #

PourM=C(P,m), cette proc´edure calcule la liste Liste Gdes matrices :G 0,...,G ordre. local A,i,B,sec,secc,texte,champ,aux:

global card_base,Liste_G ; secc:=time():

A:=matrix(card_base,card_base,0):

B:=matrix(card_base,card_base,0):

for i from 1 to card_base do A[i,i]:=1:

od:

Liste_G:=[eval(A)]:

aux:=cat(`SUITE DES MATRICES G_n (n=1,...,`,convert(ordre,name),`)`):

print(aux):

for i from 1 to ordre do # Début de la boucle de récursivité pour le calcul des matricesG_k.

sec:=time():

B:=map(diff,A,y):

A:=add(B ,multiply(A,M)):

A:=map(collect,A,y):

champ:=dformat_(i,2):

texte:=cat(`Matrice G_`,champ,` calculee. Delai:=`,sec):

lprint(texte):

Liste_G:=[op(Liste_G),eval(scalarmul(A,1/i!))]:

od: # Fin de la boucle r´ecursivit´e

secc:=temps(time()-secc):

lprint(`DELAI TOTAL DE LA SOUS-ROURINE:=`,secc):

end:

2.2 Exemples num´ eriques des matrices

_k!¹

C(P, m, k)

Voici quelques exemples des matrices consid´ er´ ees obtenus ` a l’aide des proc´ edures pr´ ec´ edentes. Dans les sections suivantes, nous traiterons du probl` eme des rayons de convergence de s´ eries d´ eﬁnies ci-dessus, le lecteur comprendra ais´ ement la lourdeur des calculs ` a d´ evelopper lorsque l’on cherche, par exemple, ` a calculer les 200 premiers termes des s´ eries en question;

ceci a ´ et´ e n´ ecessaire dans les recherches de Mebkhout pour certaines conjectures et a demand´ e d’importantes ressources mat´ erielles sur M´ edicis o` u des scripts n´ ecessitant de plus d’un mois et demi de calculs ininterrompus ont ´ et´ e lanc´ es.

• Pour P = X

³

∈ A

p,1

et d´ eformation 4, on obtient :

C(X

³

, 4, 0) =





1 0 0 0 1 0 0 0 1



 C(X

³

, 4, 1) =



 

1

4y −3

16y²

9 64y³

0

₂¹_y

−

₈³_y²

−

₁₆⁹^π_y² _64y^27π³ ⁻₂₅₆^81π_y⁴

+

_4y³



 

1 2 C(X

³

, 4, 2) =



 

−

_32y³²

−

₂₀₄₈^81π_y⁵ ₁₂₈¹⁵_y³

+

₈₁₉₂²⁴³^π_y6 −27

256y⁴

−

₃₂₇₆₈⁷²⁹^π_y⁷

27π

256y⁴ −1

8y²

−

₁₀₂₄⁸¹^π_y⁵ _64y⁹³

+

₄₀₉₆²⁴³^π_y6

9π

32y³

+

₈₁₉₂⁷²⁹^π_y²6 −81π

256y⁴

−

_32768y²¹⁸⁷^π²⁷ ₃₂⁻_y³²

+

₂₀₄₈⁵⁶⁷^π_y5

+

_131072y⁶⁵⁶¹^π²8



 

1 3! C(X

³

, 4, 3) =

⁷

128y3+ 675π 8192y6+ 2187π2

524288y9 −47 512y4− 2187π

32768y7− 6561π2

2097152y10 195

2048y5+ 1701π

32768y8+ 19683π2 8388608y11

− 81π 512y5− 729π2

65536y8 1

16y3+ 135π 1024y6+ 2187π2

262144y9 −23

256y4− 1701π

16384y7− 6561π2 1048576y10

−123π 512y4−3645π2

16384y7− 19683π3 2097152y10 693π

2048y5+ 729π2

4096y8+ 59049π3 8388608y11 5

128y3− 675π 2048y6−72171π2

524288y9− 177147π3 33554432y12

• Pour P = X

³

∈ A

p,1

et d´ eformation 5, on obtient :

C(X

³

, 5, 0) =



 



1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



 

 C(X

³

, 5, 1) =



 



1

5y

0

₂₅⁻_y³2

0 0

₅²_y

0

_25y⁻⁶2

0

⁻_25y⁹^π2

3 5y

27π 125y³ 3π

5y

0

₂₅⁻^9π_y2

4 5y



 



(8)

1 2 C(X

³

, 5, 2) =



 



−

_25y²² ₁₂₅₀^27π_y⁴ ₁₂₅⁹_y³ ₆₂₅₀⁻^81π_y⁵

−

₁₂₅⁹^π_y3 −3 25y²

27π 625y⁴

12 125y³ 81π²

1250y⁴ 9π 50y³ −3

25y²

−

₆₂₅₀²⁴³^π_y²⁵

−

₆₂₅^81π_y⁴

0

₁₂₅₀⁸¹^π_y²4

9π

125y³

−

₂₅²_y²

−

₆₂₅₀²⁴³^π_y²⁵



 



1 3! C(X

³

, 5, 3) =



 



6

125y³

−

_31250y^81π²⁶ ⁻₃₁₂₅¹⁰⁸_y^π⁵ ₆₂₅⁻³⁴_y⁴

+

_156250y²⁴³^π²7

27π 1250y⁶ 54π

625y⁴

8

125y³

−

_15625y^81π²⁶ ⁻₆₂₅^36π_y⁵ ₆₂₅⁻³⁸_y⁴

+

₇₈₁₂₅²⁴³^π_y²7

−

₂₅₀²⁷^π_y²⁵ ⁻₁₂₅₀¹⁷⁷_y^π⁴

+

_156250y⁷²⁹^π³7

7

125y³

+

₃₁₂₅₀²¹⁸⁷^π_y²6

72π

625y⁵

−

₇₈₁₂₅₀^2187π_y³⁸

−

₁₂₅²^π_y³

−

₃₁₂₅₀²⁴³^π_y³⁶ ⁻₆₂₅^54π_y⁵² ₁₂₅⁻^6π_y⁴

+

_156250y⁷²⁹^π³7

4

125y³

+

₃₁₂₅₀^1701π_y²6



 



Remarque : Des conjectures concernant la “complexit´ e” des termes des matrices

_k!¹

C(P, m, k) en fonction de la d´ eformation, ont pu ˆ etre test´ ees grˆ ace ` a de telles explicitations.

2.3 Exemple d’aﬃchage et d´ elais des calculs

A titre d’illustration, l’aﬃchage lors de l’ex´ ecution de la proc´ edure genere_G pour le calcul des matrices

_k!¹

C(X

³

, 5, k) et k ≤ 50 sur marie.polytechnique.fr, a ´ et´ e le suivant :

SUITE DES MATRICES G_n (n=1,...,50)

Matrice G_1 calculee. Delai:=0.167s. Matrice G_2 calculee. Delai:=0.066s.

DELAI TOTAL DE LA SOUS-ROURINE:= 4m. 34.8s.

3. NORMES ET RAYON DE CONVERGENCE

On consid` ere sur Z

p

la valuation p-adique. La relation alg´ ebrique π

^p⁻¹

+ p = 0 induit alors une structure d’anneau norm´ e sur Z

p

[π] par :

^p⁻²

k=0

a

k

π

^k

p

:= sup

| a

k

|

^p

· p

^p⁻⁻^k¹

o` u a

k

∈ Z

^p

.

(9)

On d´ eﬁnit alors, pour chaque nombre r´ eel strictement positif r appel´ e rayon , une norme ·

r

sur le corps Z

p

[π](t) par le proc´ ed´ e suivant. Pour tout Q(t) ∈ Z

p

[π](t), sous la forme Q(t) =

^A(t)_B(t)

, o` u A(t) et B(t) appartiennent ` a Z

p

[π, t], on pose :

Q(t)

r

:= A(t)

r

B(t)

r

, puis, si A(t) =

a

k

t

^k

, avec a

k

∈ Z

p

[π], on pose : A(t)

r

:= sup

| a

k

|

p

· r

^k

, en particulier t

r

= r.

Les matrices

_k!¹

C(P, m, k)(t) ont leurs coefﬁcients dans le corps Z

p

[π](t) de sorte que les s´ eries formelles de la section pr´ ec´ edente auront des rayons de convergence d´ ependant du rayon r choisi. Un partie signiﬁcative des recherches de Mebkhout concerne pr´ ecis´ ement le comportement asymptotique de ces rayons de convergence lorsque r → 1

⁻

.

D’un point de vue th´ eorique, il ´ etait important de pouvoir calculer les rayons de convergence suivant des directions V ∈ Z

p(m−1)ⁿ

bien choisies et, en particulier, suivant les directions des vecteurs e

i

de la base canonique.

Notons R(P, m, p, r, V ) le rayon de convergence de la s´ erie formelle :

k≥0

1 k! C(P, m, k)(t)(y − t)

^k

· V .

On a la formule de Cauchy bien connue : R(P, m, p, r, V ) = limsup

k→∞

R

k

(P, m, p, r, V ) , o` u R

k

(P, m, p, r, V ) :=

k

k!

^p

C(P, m, k)(t) · V

r

.

Un r´ esultat int´ eressant ` a souligner relatif au comportement des nombres R

k

(P, m, p, r, V ) aﬃrme que lorsque r = 1, V = 0 et que p est relativement premier ` a m, on a

R

k

(P, m, p, r, V ) ≤ 1 , pour tout k >> 0 , et lim

k→∞

R

k

(P, m, p, r, V ) = 1.

L’´ etude des nombres r´ eels R

k

(P, m, p, r, V ) en fonction des six param` etres et suivant di- verses ´ evolutions asymptotiques, a constitu´ e une bonne partie des recherches num´ eriques de la premi` ere moiti´ e de l’ann´ ee 1994.

3.1 Proc´ edures Maple pour le calcul des normes

Les variables globales dans ce script sont NNT, NNPPi et infty, la premi` ere d´ esigne t

r

= r, puis NNPPi = π

r

= | π |

p

= p

^p⁻⁻¹¹

, o` u p est la caract´ eristique en cours, enﬁn infty est la valuation p-adique de 0 que nous avons ﬁx´ e ` a 1000 pour les besoins des calculs.

#########################################################################

####################### NORME p-adique #######################

NN:=proc(Q) #

Détermine les numérateur et dénominateur de la fraction rationnelleQ∈Z^p⁽y,π), en tant qu’élé- ménts deZ^p^[y,π], et rend le quotient des normes p-adiques respectives.

RETURN(Poly_NN(numer(Q))/Poly_NN(denom(Q))):

end:

####################################

Poly_NN:=proc(PP) #

Pour tout polynˆome PP∈Zp[y,π], ´ecrit sous la forme :

PP=

i≥0

a_iyⁱ, oùa_i_∈Zp[π], cette procédure rend le nombre réel :

Poly NN(PP)=sup

{

^|^aⁱ^|^p^·|^y^|ⁱ^p

}

i≥0. local ld,md,i,L,P:

global NNT ; P:=collect(PP,y):

ld:=ldegree(P,y):

md:=degree(P,y):

L:=[]:

for i from ld by 1 while i <= md do

L:=[op(L),evalf(PPi_NN(coeff(P,y,i))*NNT^i)]:

(10)

od:

RETURN(max(op(L))):

end:

####################################

PPi_NN:=proc(P) # Pour tout polynˆomeP∈Z^p^[π], ´ecrit sous la forme : P=

i≥0

miπⁱ, oùmi∈Z, cette procédure rend le nombre réel :

PPi NN(P)=sup

{

^|^mⁱ^|^p^·|^π^|ⁱ^p

}

i≥0. local ld,md,L,i,P_mod ;

global NNPPi ;

P_mod:=collect(rem(P,PPi^(p-1)+p,PPi),PPi):

ld:=ldegree(P_mod,PPi):

md:=degree(P_mod,PPi):

L:=[]:

for i from ld by 1 while i <= md do

L:=[op(L),evalf(Z_NN(coeff(P_mod,PPi,i))*NNPPi^i)]:

od:

RETURN(max(op(L))):

end:

####################################

Z_NN:=proc(n) # Pourn∈Z, rend la normep-adique den

local val ; global infty:

if (n=0) then RETURN(0) ;

else val:=gcd(n,p^infty) ;

if (val=p^infty) then print(`norme_infinie_rencontree`) fi ; RETURN(1/val) ;

fi ; end:

3.2 Proc´ edure Maple pour le calcul des rayons de convergence

#########################################################################

####################### RAYONS DE CONVERGENCE #######################

rayon:=proc(S,indice) #

Pour tout vecteur S∈Z^p^[π](t)^(m⁻¹⁾ⁿ, cette proc´edure calcule le nombre r´eel Sr −1

indice. Un message est aﬃch´e lorsque ce nombre est_∞.

local j,n,sec,NNS,LS,ray,texte,champ_1,champ_2 ; sec:=time():

LS:=convert(S,list):

NNS:=map(NN,LS):

n:=max(op(NNS)):

if n=0 then

lprint(`LA NORME DE F`,indice,`EST NULLE !!!`,`Delai:=`,sec):

else

ray:=convert(evalf(r),name):

champ_1:=dformat_(indice,2):

champ_2:=fformat(evalf(n^(1/indice))^(-1),12):

texte:=cat(`Rayon de F_`,champ_1,`:=`,champ_2,` r:=`,ray,` Delai:=`,sec):

lprint(texte):

fi:

end:

#########################################################################

####################### ROUTINE PRINCIPALE #######################

work:=proc(Poly,var,def,rr,pp,ordre) #

Procédure principale destinée au calcul des rayons de convergence des séries formelles développées à l’ordreordre et associées à la matrice de connexion C(Poly,def), où Poly∈App,var et où le rayon vautr=rr.

local i,j,flag,rep,sec,total_time,texte,aux ;

global r,p,NNT,NNPPi,last_command,card_base,Mat,Liste_G ; total_time:=time():

etoiles(60,`*`):

interface(quiet=true) ; r:=convert(rr,rational):

p:=pp:

NNT:=r ;

NNPPi:=p^(-1/(p-1)) ; connexion(Poly,var,def): #

Calcul de la matrice de connexion C(Poly,def).

Pause():

genere_G(Mat,ordre): #

G´en´eration des matrices

1

k!C(Poly,def,k) pourk_≤ordre.

lprint(``):

rep:=readstat(

`CALCUL DES RAYONS SUIVANT LES DIRECTIONS CANONIQUES ? [1,0]: `):

if rep=1 then

interface(quiet=true):

lprint(` `):

lprint(`SUITE DES RACINES N-IEMES DES INVERSES DES NORMES DES F_N`):

for j from 1 to card_base do #

D´ebut de la boucle donnant successivement, pour chaque vecteur e_j de la base canonique, la suite de nombres

R_k(Poly,def,pp,rr,e_j), pourk_≤ordre.

lprint(` `):

texte:=cat(`VECTEURS F_n POUR LA CONDITION INITIALE E_`,convert(j,name)):

lprint(texte):

aux:=cat(`E_`,convert(j,name),`:=[`):

for i from 1 to card_base-1 do

(11)

if i=j then

aux:=cat(aux,`1,`):

else

aux:=cat(aux,`0,`):

fi:

od:

if i=j then

aux:=cat(aux,`1]`):

else

aux:=cat(aux,`0]`):

fi:

lprint(aux):

sec:=time():

for i from 2 to ordre+1 do

rayon(col(op(i,Liste_G),j),i-1): # Calcule et aﬃche les nombres

R_k(Poly,def,pp,rr,e_j) pour_1≤k_≤ordre. od:

lprint(`DELAI TOTAL:=`,sec):

od:

fi:

total_time:=temps(time()-total_time):

total_time:=cat(`| TEMPS TOTAL DE CALCUL POR "work":= `,total_time,` |`):

etoiles_(length(total_time)-1,`-`):

lprint(total_time):

etoiles_(length(total_time)-1,`-`):

Prompt():

end:

3.3 Exemple num´ erique de calcul des rayon de convergence

• Pour le polynˆ ome P = X

³

∈ A

3,1

, d´ eformation m = 4, rayon r = 0.95 et jusqu’` a l’ordre 20, nous avons obtenu les r´ esultats suivants sur marie.polytechnique.fr :

SUITE DES RACINES N-IEMES DES INVERSES DES NORMES DES F_N #

On noteF Nle vecteur _N!¹C(P,m,N)(t)·V

#

VECTEURS F_n POUR LA CONDITION INITIALE E_1 E_1:=[1,0,0] #

Cas o`u la directionV est donn´ee par le vec- teure1=[1,0,0]de la base canonique Rayon en F_1 := 0.949999999999 r:=0.95 Delai:=0.134s.

Rayon en F_2 := 1.645448267190 r:=0.95 Delai:=0.184s.

Rayon en F_10:= 0.988318101205 r:=0.95 Delai:=1.3s.

DELAI TOTAL:= 26.017s.

#

VECTEURS F_n POUR LA CONDITION INITIALE E_2

E_2:=[0,1,0] # Cas o`u la directionV est donn´ee par le vec-

teure₂=[0,1,0]de la base canonique Rayon en F_1 := 0.949999999999 r:=0.95 Delai:=0.116s.

Rayon en F_16:= 1.142649295150 r:=0.95 Delai:=2.s.

(12)

DELAI TOTAL:= 25.35s.

3.4 Proc´ edures compl´ ementaires dans l’´ etude des s´ eries formelles

Une fois la liste des matrices

_k!¹

C(P, m, k) calcul´ ee, trois routines Maple ont ´ et´ e utilis´ ees pour des ´ etudes compl´ ementaires; les voici :

#########################################################################

########################### DEGRES ###########################

degres:=proc() #

Donne la liste desy-valuations des matrices _k!¹C(P,m,k).

local i,L,AUX:

global Liste_G ; interface(quiet=true):

L:=[]:

for i from 1 to nops(Liste_G) do AUX:=map(ldegree,op(i,Liste_G),y):

AUX:=convert(AUX,set):

L:=[op(L),min(op(AUX))]:

od:

print(L):

end:

#########################################################################

########################### SOLUTION ###########################

solution:=proc(i) #

Calcule la somme de la s´erie _ordre

k=0 zk

k!C(P,m,k)(y)·e_i local vec,j ;

global card_base,Liste_G ; interface(quiet=true) ; vec:=matrix(card_base,1,0):

for j from 1 to nops(Liste_G) do

vec:=add(vec,scalarmul(col(op(j,Liste_G),i),z^(j-1))):

od:

interface(quiet=false) ; RETURN(vec):

end:

#########################################################################

########################### DIRECTION ###########################

direction:=proc(vecteur) #

Calcule et aﬃche la suiteR_k(P,m,p,r, V) pour une directionV donn´ee.

local i,j,sec,flag:

global r,NNT,NNPPi,card_base,Liste_G,INI ; sec:=time():

r:=convert(r,rational):

NNT:=r ;

NNPPi:=p^(-1/(p-1)) ; interface(quiet=true) ; INI:=matrix(card_base,1,0):

for i from 1 by 1 to card_base do flag:=0:

for j from 1 by 1 to nops(vecteur)/2 do if i=op(2*j-1,vecteur) then

flag:=convert(op(2*j,vecteur),rational):

fi:

od:

INI[i,1]:=flag:

od:

lprint(` `):

lprint(`Caracteristique:=`,p):

lprint(`Rayon:=`,r):

lprint(`Condition Initiale`):

print(convert(convert(col(INI,1),list),name)):

print(`SUITE DES RACINES N-IEMES DES INVERSES DES NORMES DES F_N`):

for i from 2 to nops(Liste_G) do

rayon(col(multiply(op(i,Liste_G),INI),1),i-1):

od:

lprint(`DELAI TOTAL DE LA SOUS-ROUTINE:=`,sec):

interface(quiet=false) ; end:

(13)

3.5 Exemples num´ eriques d’´ etudes compl´ ementaires des s´ eries formelles

Appliqu´ ees au cas P = X

³

∈ A

3,1

, m = 4, r = 0.95, p = 3 et jusqu’` a l’ordre 20, les proc´ edures pr´ ec´ edentes donnent :

• Proc´ edure degres.

> degres() ;

[0, -4, -8, -12, -16, -20, -24, -28, -32, -36, -40, -44, -48, -52, -56, -60, -64, -68, -72, -76, -80]

• Proc´ edure solution. Cette routine, utile dans certaines recherches th´ eoriques, ne pr´ evoit pas d’affichage ` a l’´ ecran. En effet, dans l’exemple en cours, l’expression du vecteur solution solution(1) comporte respectivement 210, 211 et 190 termes dans ses trois coordonn´ ees. La fin de l’expression de la troisi` eme coordonn´ ee ´ etant alors :

18 717099303999651277050072662753116647 PPi + --- ---

4134699571508970836945737422722859279186881928935505920000 72 y

19 2255930269932180702420206851657617 PPi + --- ---

13231038628828706678226359752713149693398022172593618944000 75 y

20 2503155504993241601315571986085849 PPi + --- ---)]

33871458889801489096259480966945663215098936761839664496640000 78 y

4. VECTEURS CYCLIQUES, POLYN ˆ OMES INDICIELS ET EXPOSANTS FORMELS

Dans l’´ etude des solutions formelles les objets consid´ er´ es dans cette section jouent un rˆ ole fondamental. Rappelons que dans la section 1 nous avons introduit le Z [π, y, y

⁻¹

]-module libre M(P, m) de rang N := (m − 1)

ⁿ

. Tout ´ el´ ement ξ ∈ M(P, m), tel que la famille :

ξ, (y ∇

y

)(ξ), (y ∇

y

)

²

(ξ), . . . , (y ∇

y

)

^N⁻¹

(ξ) , ( † ) est Z [π, y, y

⁻¹

]-lin´ eairement ind´ ependante sera appel´ e vecteur cyclique pour la connexion y ∇

y

. Notons Z

p

(π, y) le corps des fractions de Z [π, y, y

⁻¹

], le vecteur ξ est donc cyclique, si et seu- lement si , la famille ( † ) est une base du Z

^p

(π, y)-espace vectoriel Z

^p

(π, y) ⊗ M(P, m). Des r´ esultats th´ eoriques sur les ´ equations diﬀ´ erentielles p-adiques garantissent l’existence de tels vecteurs, mais ceci de mani` ere non eﬀective. Nous indiquerons dans la section 4.1 une proc´ e- dure Maple destin´ ee ` a les d´ etecter.

Fixons maintenant un ´ el´ ement ξ

0

∈ M(P, m) cyclique pour la connexion y ∇

^y

et consid´ erons la d´ ecomposition :

(y ∇

y

)

^N

(ξ) = A

0

ξ + A

1

(y ∇

y

)(ξ) + A

2

(y ∇

y

)

²

(ξ) + · · · + A

N−1

(y ∇

y

)

^N⁻¹

(ξ) ,

o` u A

k

∈ Z

p

[π](y). Remarquons que les coeﬃcients A

k

sont pr´ ecis´ ement ceux de la derni` ere colonne de la matrice de la connexion y ∇

y

relative ` a la base des (y ∇

y

)

ⁱ

(ξ) de l’espace vectoriel Z

p

(π, y) ⊗ M(P, m). Cette matrice est donc la matrice compagnon :

((y ∇

y

)) =



 



0 · · · · A

0

1 0 · · · · A

1

0 1 0 · · · A

2

.. . .. . . . . . . . .. . 0 · · · · 1 A

N−1



 

