Lyc´ee Dominique Villars Exercices ECE 2
Applications lin´ eaires - Exercices compl´ ementaires
1. D´emontrer que si f ∈ L(E, F) alorsKer(f) est un sev deE etIm(f) est un sev de F.
2. D´emontrer que : Ker(f) ={0E}´equivaut `a f injective.
3. D´emontrer que si f ∈ L(E, F) et (e1;e2;. . .;en) une base deE alors Im(f) =V ect(f(e1);f(e2);. . .;f(en)) Exercice 1 (D´emontrer les points importants du cours).
Soient un entier naturel non nul n, E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies tels que dim(E) =netf une application lin´eaire deE vers F
1. SoitG une famille g´en´eratrice deE et Lune famille libre deE. SoitB une base deE (a) Montrer que f(G) est une famille g´en´eratrice deIm(f).
(b) Montrer que sif est injective alors f(L) est une base deIm(f).
(c) Montrer que si f est injective alors f(B) est une base deIm(f).
2. (a) Montrer que f est surjective ssi l’image parf d’une famille g´en´eratrice deE est une famille g´en´eratrice deF.
(b) Montrer quef est injective ssi l’image parf de toute famille libre deE est une famille libre deF.
(c) Montrer que f est bijective ssi l’image parf de toute base de E est une base de F. Exercice 2 (Image par une AL de familles libres, g´en´eratrices et bases).
SoientE,F G trois espaces vectoriels de dimensions finies.
1. Soitf ∈ L(E, F).
(a) Montrer que rg(f) 6 min(dimE, dimF).
(b) Montrer quef est injective si et seulement sirg(f) =dimE.
(c) Montrer que f est surjective si et seulement si rg(f) =dimF.
(d) Montrer quef est bijective si et seulement sirg(f) =dimE=dimF. 2. (a) Si f ∈ L(E, F),g∈ L(F, G) alors : rg(g◦f)6min(rg(g), rg(f)).
(b) Sif etg∈ L(E, F) alors : rg(f+g)6rg(f) +rg(g).
Exercice 3 (Propri´et´es du rang d’une AL).
Soitf ∈ L(E) o`uE est unR-e.v. de dimension finien>1.
On suppose quef est nilpotent c.a.d. qu’il existe m∈N∗ tel quefm= 0L(E) (endomorphisme nul).
1. Montrer quef n’est pas bijective.
2. Soitple plus petit entier tel quefp = 0 etu∈Etel queu /∈Ker(fp−1) soit tel quefp−1(u) 6= −→ 0 . (a) Montrer que (u, f(u), . . . , fp−1(u) est une famille libre de E.
(b) En d´eduire que p6n.
Exercice 4 (Endomorphismes nilpotents - Ordre de nilpotence).
1
SoitE un espace vectoriel de dimensionnetf un endomorphisme de E.
1. Montrer queKer(f) est inclus dansKer(f2) et que Im(f2) est inclus dansIm(f).
2. D´emontrer les ´equivalences suivantes :
Ker(f) =Ker(f2) ⇐⇒ Im(f)∩Ker(f) ={0}
Im(f) =Im(f2) ⇐⇒ Im(f) +Ker(f) =E 3. (a) Montrer que pour tout entier k∈N: Ker(fk)⊂Ker(fk+1).
(b) D´emontrer que pour tout entierk∈N :
Ker(fk) =Ker(fk+1)
=⇒
Ker(fk+1) =Ker(fk+2)
(c) Montrer qu’il existe k∈N, tel queKer(fk) =Ker(fk+1).
(d) Conclure.
4. (a) Montrer que pour tout entier k∈N: Im(fk+1)⊂Im(fk).
(b) D´emontrer que pour tout entierk∈N :
Im(fk) =Im(fk+1)
=⇒
Im(fk+1) =Im(fk+2)
(c) Montrer qu’il existe k∈N, tel queIm(fk) =Im(fk+1).
(d) Conclure.
5. Soit N le plus petit entier k tel que Ker(fk) = Ker(fk+1) et N0 le plus petit entier tel que Im(fk) =Im(fk+1). D´emontrer queN =N06n.
Exercice 5 (Noyaux et images it´er´es d’un endomorphisme).
Soitp un endomorphisme de Rn tel quep◦p=p.
1. Montrer queKer(p)∩Im(p) ={0Rn} 2. Soitu∈Rn.
(a) Montrer que u−p(u)∈Ker(p)
(b) En d´eduire qu’il existe un unique couple (v, w)∈Ker(p)×Im(p) tel que : u=v+w 3. Justifier queIm(p) =Inv(p) lorsque Inv(p) est l’ensemble des vecteurs invariants par psoit
Inv(p) ={u∈Rn / p(u) =u}
Exercice 6 (Propri´et´es des projecteurs lin´eaires).
Soitsun endomorphisme de Rn tel ques◦s=idRn. 1. Justifier quesest un automorphisme.
2. Montrer queKer(s−id)∩Ker(s+id) ={0Rn} 3. Soitu∈Rn.
(a) Montrer que u−s(u)∈Ker(s+id) etu+s(u)∈Ker(s−id).
(b) En d´eduire qu’il existe un unique couple (v, w)∈Ker(s+id)×Ker(s+id) tel que : u=v+w Exercice 7 (Propri´et´es des sym´etries lin´eaires).
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