´Episode IV : Espaces vectoriels et applications lin´eaires

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2012/2013

´Episode IV : Espaces vectoriels et applications lin´eaires

E ^XERCICE 1

Soit E un K −espace vectoriel et V une partie de E. V´erifier que si 0

∈ / V , alors V n’est pas un sev de E.

E ^XERCICE 2

On donne ci-dessous des exemples d’espace vectoriel E sur K ainsi que des vecteurs v, v

, v

, ..., v

de E.

Dire `a chaque fois s’il est possible d’´ecrire v comme combinaison lin´eaire des v

. 1. E = R

, K = R , v = (−6, −17, 17), v

= (2, 1, 3), v

= (3, 5, −2).

2. E = R

, K = R , v = (4, −1, 1), v

= (0, 1, 1), v

= (2, 0, −1), v

= (2, 1, 1).

3. E = C

, K = C , v = (1 + 2i, 3 − 4i), v

= (i, 0), v

= (0, i).

4. E = C

, K = R , v = (1 + 2i, 3 − 4i), v

= (i, 0), v

= (0, i).

5. E = M

( R ), K = R , v = 2 3

4 0

, v

= 1 1

0 0

, v

= 0 1

1 0

, v

= 0 0

1 1

E ^XERCICE 3

Montrer que les sous ensembles suivants sont des sev de R

: 1. A = {(0, y, 0) , y ∈ R }.

2. B =

(x, y, z) ∈ R

/ x + y + 3z = 0 . 3. C = {(0, y, 0) , y ∈ R } ∩

(x, y, z) ∈ R

/ x + y + 3z = 0 .

E XERCICE 4

Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels ? 1. D = {(x + y, x − y, 2y)/(x, y ) ∈ R

}

2. E = {(x, y, z) ∈ R

/x + 2y − 3z = 0}

3. F = {(x, y, z) ∈ R

/x + y + z = 0 et 2x − y + z = 0}

4. G = {(x, y) ∈ R

/x

− y

= 0}

5. H = {(x, y, z) ∈ R

/x + 2y − 3z = 1}

6. I = {(x, y, z) ∈ R

/x + y + a = 0 et x + 3az = 0} (discuter suivant les valeurs du r´eel a)

E XERCICE 5

Pour chaque espace vectoriel, d´eterminer une famille g´en´eratrice : 1. A = {(x − y, x + y, 2x − 3y)/(x, y) ∈ R

}

2. B = {(x, y, z) ∈ R

/x = y = z}

3. C = {(x, y, z, t) ∈ R

/2x − y + 2z − t = 0 et y + z − t = 0}

E ^XERCICE 6

Montrer que la famille B = {(1, 6, 9), (1, 4, 6), (3, 6, 2)} est une famille g´en´eratrice de R

.

E XERCICE 7

Les familles suivantes sont-elles libres dans R

? 1. (u, v) avec u = (1, 2, 3) et v = (−1, 4, 6).

2. (u, v, w) avec u = (1, 2, −1), v = (1, 0, 1) et w = (−1, 2, −3).

3. (u, v, w, z) avec u = (1, 2, 3, 4), v = (5, 6, 7, 8), w = (9, 10, 11, 12) et z = (13, 14, 15, 16).

E XERCICE 8

On consid`ere dans R

les vecteurs v

= (1, 1, 0), v

= (4, 1, 4) et v

= (2, −1, 4).

1. Montrer que la famille (v

, v

) est libre. Faire de mˆeme pour (v

, v

), puis pour (v

, v

).

2. La famille (v

, v

, v

) est-elle libre ?

E XERCICE 9

On consid`ere dans R

les vecteurs

v

= (1, −1, 1), v

= (2, −2, 2), v

= (2, −1, 2).

1. Peut-on trouver un vecteur w tel que (v

, v

, w) soit libre ? Si oui, construisez-en un.

2. Mˆeme question en remplac¸ant v

par v

.

E XERCICE 10

Les syst`emes suivants forment-ils des bases de R

? S

= {(1, −1, 0), (2, −1, 2)}.

S

= {(1, −1, 0), (2, −1, 2), (1, 0, a)} avec a r´eel (on discutera suivant la valeur de a).

S

= {(1, 1, 3), (3, 4, 5), (−2, 5, 7), (8, −1, 9)}.

E ^XERCICE 11

D´eterminer une base et la dimension des sous-espaces vectoriels de R

suivants : 1. E

= {(x, y, z) ∈ R

/2x + y − z = 0}

2. E

= {(x, y, z) ∈ R

/2x = 0 et 3y − z = 0}

3. E

= {(x, y, z) ∈ R

/x − z = 0 et 3y − z = 0}

4. E

= {(x, y, z) ∈ R

/ − x − y + z = 0 et 2x + y − 5z = 0}

5. E

= {(x, y, z) ∈ R

/2x − 3z = 4y − 5x}

6. E

= {(x, y, z) ∈ R

/ − x + 2y = y + 6z = 3z − 2x}

E XERCICE 12

Montrer que les vecteurs u

= (0, 1, 1), u

= (1, 0, 1) et u

= (1, 1, 0) forment une base de R

. Trouver dans cette base les coordonn´ees du vecteur u = (1, 1, 1).

E XERCICE 13

Soient V

= V ect {(1, 2, 3) , (4, 5, 6)} , V

= V ect {(0, 3, 6) , (0, 9, 12)} et V

= V ect {(0, 3, 6) , (10, 11, 12)}.

Quelles sont les dimensions de V

, V

, V

? V

est-il ´egal `a V

?

E ^XERCICE 14

Pour E = R

, dire si les familles de vecteurs suivantes peuvent ˆetre compl´et´ees en une base de E.

Si oui, le faire.

1. (u, v, w) avec u = (1, 2, −1, 0), v = (0, 1, −4, 1) et w = (2, 5, −6, 1) ;

2. (u, v, w) avec u = (1, 0, 2, 3), v = (0, 1, 2, 3) et w = (1, 2, 0, 3) ;

3. (u, v) avec u = (1, −1, 1, −1) et v = (1, 1, 1, 1).

E XERCICE 15

Soient F et G les sous-espaces vectoriels de R

d´efinis par :

F = {(x, y, z) ∈ R

; x − 2y + z = 0}

G = {(x, y, z) ∈ R

; 2x − y + 2z = 0}.

1. Donner une base de F, une base de G, en d´eduire leur dimension respective.

2. Donner une base de F ∩ G, et donner sa dimension.

3. Montrer que la famille constitu´ee des vecteurs de la base de F trouv´ee en 1. et des vecteurs de la base de G trouv´ee en 2. est une famille g´en´eratrice de R

. Est-elle libre ?

4. Les espaces F et G sont-ils suppl´ementaires ?

E XERCICE 16

On consid`ere dans R

:

v

= (1, 2, 0, 1) v

= (1, 0, 2, 1) v

= (2, 0, 4, 2)

w

= (1, 2, 1, 0) w

= (−1, 1, 1, 1) w

= (2, −1, 0, 1) w

= (2, 2, 2, 2).

1. Montrer que (v

, v

) est libre et que (v

, v

, v

) est li´ee.

2. Montrer que (w

, w

, w

) est libre et que (w

, w

, w

, w

) est li´ee.

3. Montrer que (v

, v

, w

, w

) est libre.

4. Soit F le sous-espace vectoriel de R

engendr´e par (v

, v

, v

).

(a) D´eterminer une base de F . (b) Donner un suppl´ementaire de F.

5. Soit G le sous-espace vectoriel engendr´e par (w

, w

, w

, w

). D´eterminer une base de G.

6. (a) A l’aide des bases trouv´ees en 4. et 5. construire un syst`eme g´en´erateur de F + G.

(b) En d´eduire que F + G = R

. 7. (a) Montrer que v

+ v

est dans F ∩ G.

(b) Calculer la dimension de F ∩ G.

(c) Donner une base de F ∩ G.

8. F et G sont-ils suppl´ementaires ?

E ^XERCICE 17

D´eterminer si les applications suivantes sont des applications lin´eaires : 1. f (x, y) = (2x − y, 3x + y)

2. f (x, y, z) = (x − y, y, x + 3y + z + 1) 3. f (x, y, z) = (x + y + z, x + z) 4. f (x, y, z) = xyz

E ^XERCICE 18

Soit f une application lin´eaire de R

dans R

d´efinie par :

f (1, 1, 1) = (1, 1, 1, 3) , f(1, 1, 0) = (1, 1, 1, 2) et f (1, 0, 0) = (1, 1, 1, 1)

Que vaut f (3, 2, 1) ? f (x, y, z) ?

E ^XERCICE 19

Existe-t-il une application lin´eaire f de R

dans R

telle que f (1, 1, 3) = (1, 1, 1, 1), f (1, 1, 2) = (1, 1, 1, 0) et

f (1, 1, 1) = (1, 1, 0, 0) ?

E XERCICE 20

Soit u l’application de R

dans R

d´efinie par

u(x, y, z) = (−x + y, x − y, −x + z, −y + z).

1. Montrer que u est lin´eaire

2. Soient {E

, E

, E

} la base canonique de R

et {F

, F

, F

, F

} la base canonique de R

. Calculer u(E

), u(E

) et u(E

) en fonction de F

, F

, F

et F

.

3. ´Ecrire la matrice de u dans les bases canoniques.

4. Montrer que {F

, F

, u(E

), u(E

)} est une base de R

.

5. ´Ecrire la matrice de u dans les bases {E

, E

, E

} et {F

, F

, u(E

), u(E

)}.

E XERCICE 21

Soient {e

, e

, e

} la base canonique de R

, w

= (1, −2, 0), w

= (−1, 2, 0), w

= (0, 0, 2) et u l’endomorphisme de R

d´efini par la donn´ee des images des vecteurs de la base :

u(e

) = w

, u(e

) = w

, u(e

) = w

. 1. (a) Exprimer w

, w

, w

en fonction de E

, E

et E

.

En d´eduire la matrice de u dans la base canonique.

(b) Soit W = (x, y, z) ∈ R

. Calculer u(W ).

2. (a) Trouver une base de ker(u) et une base de Im(u).

(b) Montrer que R

= ker(u) ⊕ Im(u).

3. D´eterminer ker(u − Id) et Im(u − Id) o `u Id d´esigne l’identit´e de R

. En d´eduire que u − Id est un automorphisme de R

.

E XERCICE 22

On consid`ere l’application lin´eaire f de R

dans R

d´efinie par

f (x, y, z) = (x + z, y − x, z + y, x + y + 2z).

1. Calculer les images par f des vecteurs de la base canonique (e

, e

, e

) de R

. En d´eduire une base de Im(f ).

2. D´eterminer une base de ker(f ).

3. L’application f est-elle injective ? surjective ?

E ^XERCICE 23

Soit S l’ensemble des solutions du syst`eme :







x + y + z = 0 x + 52y + 37z = 0 31x + 1287y + 389z = 0

.

S est-il un sev de R

? En est-il de mˆeme pour l’ensemble des solutions de n’importe quel syst`eme lin´eaire ?

E ^XERCICE 24

Soit E le sous-espace vectoriel de R

engendr´e par les vecteurs u = (1, 0, 0) et v = (1, 1, 1).

Trouver un endomorphisme f de R

dont le noyau est E.

E XERCICE 25

On consid`ere l’endomorphisme f de R

dont la matrice dans la base canonique est :

A =





1 1 1

−1 2 −2 0 3 −1



 .

Donner une base de ker(f ) et de Im(f ).