Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Tronc commun, semestre 3
6. Applications lin´eaires
Exercice1 — Soit
E={(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0}.
(1) Montrer queE est un sous-espace vectoriel deR3. En donner une base et la dimension.
(2) Soit A=
1 1 1 0 0 0
. Que repr´esenteE pour la matrice A? D´eterminer ImA et une base de ImA.
V´erifier sur Ale th´eor`eme du rang.
Exercice2 — Soit l’applicationf :R3→R3d´efinie par
f(x, y, z) = (2x−z, x+y, x−y+z).
(1) V´erifier quef est lin´eaire.
(2) ´Ecrire la matrice def dans la base canonique deR3.
(3) L’applicationf est-elle bijective ? Si oui, d´eterminer son application r´eciproquef−1. Si non, d´eterminer son noyau et son image.
Exercice3 — Soit l’application lin´eairef :R3→R2 d´efinie par f(x, y) = (x+y+z, x−2y−z).
(1) ´Ecrire la matriceA def dans la base canonique de R3 au d´epart et dans la base canonique deR2 `a l’arriv´ee.
(2) L’application f peut-elle ˆetre bijective ? (Cette question ne n´ecessite aucun calcul.) (3) Calculer le noyau def. En d´eduire, en utilisant le th´eor`eme du rang, que f est surjective.
Exercice4 — Soit l’application lin´eairef :R3→R3 d´efinie par
f(x, y, z) = (x+z, x−y+z,−x+y+z).
(1) ´Ecrire la matriceAdef dans la base canonique deR3. (2) Montrer queAest inversible et calculer son inverse.
(3) D´eterminer sans calcul le noyau def.
(4) L’application f est-elle bijective ? Si oui, d´eterminer son application r´eciproque f−1.
Exercice5 — Soit
M =
2 4 4 2
0 2 −2 2
3 0 2 0
4 3 3 2
.
(1) ´Ecrire l’application lin´eairef :R4→R4 dontM est la matrice dans la base canonique.
(2) Donner une base de ImM et une base de KerM. V´erifier sur M le th´eor`eme du rang.
1
Exercice6 — Soit
A=
2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2
.
D´eteminer le rang de A. Trouver une base de ImAet une base de KerA. Montrer que ImA∩KerA={0}.
Exercice7 — On consid`ere l’application lin´eairef :R3→R3 donn´ee par f(x, y, z) = (x−2y+ 2z, z,−2x+ 3y−z).
On posev1= (1,1,0),v2= (−1,0,1),v3= (1,1,1).
(1) ´Ecrire la matriceAde l’application f dans la base canonique (e1, e2, e3).
(2) Montrer que (v1, v2, v3) est une base deR3.
(3) Exprimer f(v1),f(v2) et f(v3) en fonction de v1,v2 et v3. En d´eduire la matriceB def dans la base (v1, v2, v3).
(4) Exprimerf3(v1),f3(v2) etf3(v3) en fonction dev1,v2et v3. Que peut-on en d´eduire sur l’application f3 ? En d´eduire sans calcul l’expression de la matriceA3.
Exercice8 — On consid`ere l’application lin´eairef :R2→R2 donn´ee par f(x, y) = (5x−2y,8x−5y).
(1) ´Ecrire la matrice de l’applicationf dans la base canonique (e1, e2).
(2) Soitv1= (4,1),v2= (7,−2) etv3= (−8,−2). Montrer que (v1, v2) est une base deR2mais que (v1, v3) n’en est pas une.
(3) ´Ecrire la matrice def dans la base (v1, v2).
(4) Exprimerf(v1) etf(v2) en fonction dev1 et v2. (5) Exprimerf(v3) en fonction dev1et v2.
(6) Exprimerf(v3) en fonction dee1 ete2. (7) Est-ce que (f(v1), f(v2)) est une base deR2?
* Exercice9 — Montrer qu’une matriceAde taille 2×2 transforme le carr´e [0,1]×[0,1] en un parall´elogramme d’aire|det(A)|.
* Exercice10 — DansR3, on notefθ la rotation d’angleθautour de l’axexetgθla rotation d’angleθautour de l’axey.
(1) Montrer quefθ et gθsont des endomorphismes deR3.
(2) ´Ecrire les matrices defθ et degθ dans la base canonique deR3. (3) V´erifier quefθ1◦fθ2 =fθ1+θ2 etgθ1◦gθ2=gθ1+θ2.
(4) Calculer les matrices defθ1◦gθ2 et degθ2◦fθ1. La composition est-elle commutative ?
* Exercice11 — On noteM22 l’espace vectoriel des matrices carr´ees de taille 2.
(1) Montrer que l’application f : M22 → M22 d´efinie par f(A) = tA est lin´eaire. Est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
(2) ´Ecrire la matrice M de l’application f dans la base (A11, A12, A21, A22) d´efinie `a l’exercice 11 de la feuille de TD “Espaces vectoriels”.
(3) Que peut-on dire de f◦f ? En d´eduireM2 sans calcul.
