x 2y;3x+y) 1

Université Ibn Khaldoun de Tiaret. Département d’Informatique Module:Algèbre 2 (1^ere Année LMD)

L⁰essentiel de la F iche de T :D N⁰ 2 (2019-2020)

Exercice 1:

Soit l’applicationf dé…nie par f : R² !R³

(x; y) 7 !f(x; y) = (x+y; x 2y;3x+y) 1. Montrer que l’application f est linéaire.

2. Déterminer kerf etImf et trouver une base de chacun.

Université Ibn Khaldoun de Tiaret. Département d’Informatique Module:Algèbre 2 (1^ere Année LMD)

Solution de l⁰essentiel de la F iche de T :D N⁰ 2(2019-2020)

Exercice 1:

1. Soit ; 2R et soit (x; y);(x⁰; y⁰)2R², on a:

f( (x; y) + (x⁰; y⁰)) =f( x+ x⁰; y+ y⁰)

= (( x+ x⁰) + ( y+ y⁰);( x+ x⁰) 2 ( y+ y⁰);3 ( x+ x⁰) + ( y+ y⁰))

= ( (x+y) + (x⁰+y⁰); (x 2y) + (x⁰ 2y⁰); (3x+y) + (3x⁰+y⁰))

= ( (x+y); (x 2y); (3x+y)) + ( (x⁰+y⁰); (x⁰ 2y⁰); (3x⁰+y⁰))

= (x+y; x 2y;3x+y) + (x⁰ +y⁰; x⁰ 2y⁰;3x⁰ +y⁰)

= f(x; y) + f(x⁰; y⁰)

Alorsf est une application linéaire.

2.1 kerf =f(x; y)2R² = f(x; y) = 0_R³g: On a f(x; y) = 0_R³ ,

8<

:

x+y = 0 x 2y= 0 3x+y= 0

, 8<

:

y= x y= 0 x= 0 ,(x; y) = (0;0)

kerf =f0_R²g;alors l’ensemble vide ?est une base de kerf:

Imf =ff(x; y)=(x; y)2R²g:

f(x; y) = (x+y; x 2y;3x+y)

= (x; x;3x) + (y; 2y; y)

=x(1;1;3) +y(1; 2;1)

Posonsa₁ = (1;1;3) = f(1;0)2Imf eta₂ = (1; 2;1) =f(0;1)2Imf:

Il su¢ t de prendre 1 =xet 2 =y pour avoir f(x; y) = ₁a₁+ ₂a₂: Alorsfa₁; a₂g est une partie génératrice deImf:

Soit 1; ₂ 2R; on a:

1a₁+ ₂a₂ = 0_R³ ) ¹(1;1;3) + ₂(1; 2;1) = 0_R³ )( ₁+ ₂; ₁ 2 ₂;3 ₁+ ₂) = 0_R³ )

8<

:

1+ ₂ = 0

1 2 ₂ = 0

3 ₁+ ₂ = 0 )

8<

:

1 = ₂

2 = 0

1 = 0 ) ¹ = ₂ = 0

Alorsfa₁; a₂g est libre.

Par suite fa₁; a₂g est une base de Imf:

2