Math 30421
Module 4 – Étude de la fonction Ex 8,1: p.269 # 1, 2, 3, 4, 5
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Ex 8.1 : p. 269
1. Compléter la définition suivante.
La droite d’équation x = a, où a E R, est une asymptote verticale de la courbe de f si une des conditions suivantes est vérifiée :
−= −∞
→
f ( x ) lim
ax
,
−= ∞
→
f ( x ) lim
ax
,
+= −∞
→
f ( x ) lim
ax
,
+= ∞
→
f ( x ) lim
a x2. Soit f définie par le graphique ci-contre.
a) évaluer les limites suivantes.
i) lim f ( x )
6
x→− −
ii) lim f ( x )
6
x→− +
iii) lim f ( x )
2
x→− −
iv) lim f ( x )
2 x→− +
+ ∞ + ∞ + ∞ + ∞ v) lim f ( x )
0
x→ −
vi) lim f ( x )
0
x→ +
vii) lim f ( x )
5
x→ −
viii) lim f ( x )
5 x→ +
0 − ∞ 2 , 5 − 2 b) donner l’équation de chaque asymptote verticale.
0 x et 2 x , 6
x = − = − =
3. a) Tracer un graphique qui répond aux quatre conditions suivantes :
i)
−= +∞
−
→
f ( x ) lim
3x
ii)
+= −∞
−
→
f ( x ) lim
3 xiii) lim f ( x ) 2
2
x −
=
→
iv)
+= +∞
→
f ( x ) lim
2 xb) Donner l’équation de chaque asymptote verticale.
2 x et 3
x = − =
4. Déterminer, si possible, les asymptotes verticales des fonctions suivantes et donner l’esquisse du graphique de la fonction près de ces asymptotes.
a)
2) 3 x (
x ) 3
x (
f = −
1) Le domaine de cette fonction est
R | { } 3
2) Donc, on vérifie la limite à gauche et la limite à droite au point x = 3
+∞
=
− =
−
+∞
=
− =
−
→ +
→ +
+
−
0 9 ) 3 x )(
3 x (
x lim 3
0 9 ) 3 x )(
3 x (
x lim 3
3 x
3
x donc, x = 3 est une asymptote vert.
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b) x 3
x ) 7
x ( f
2
+
= −
1) Le domaine de cette fonction est
] − 3 , ∞ [
2) Donc, on vérifie la limite à gauche de x = -3
−∞
− = + =
−
− +
→ +
0
63 3
x x lim 7
2 3
x donc, x = -3 est une asymptote vert.
c) ( x 1 )( x 4 ) 1 x ) 2
x (
f − +
= +
1) Le domaine de cette fonction est
R | { − 4 , 1 }
2) Donc, on vérifie la limite à gauche et à droite de x = -4
+∞
− = + =
− +
−∞
− = + =
− +
− −
→
− +
→
+
−
0 7 ) 4 x )(
1 x (
1 x lim 2
0 7 ) 4 x )(
1 x (
1 x lim 2
4 x
4
x donc, x = -4 est une asymptote vert.
x = 1
+∞
= + =
− +
−∞
= + =
− +
→ +
→ −
+
−
0 3 ) 4 x )(
1 x (
1 x lim 2
0 3 ) 4 x )(
1 x (
1 x lim 2
1 x
1
x donc, x = 1 est une asymptote vert.
d) x 4 x 3
6 x ) x
x (
f
22+ +
−
= +
) 1 x )(
3 x (
) 2 x )(
3 x (
+ +
−
= +
1) Le domaine de cette fonction est
R | { − 3 , − 1 }
2) Donc, on vérifie la limite à gauche et à droite de x = -3
− =
= − +
= − + +
− +
− =
= − +
= − + +
− +
+ +
−
−
−
→
−
→
−
→
−
→
2 5 2 5 ) 1 x (
) 2 x lim ( ) 1 x )(
3 x (
) 2 x )(
3 x lim (
2 5 2 5 ) 1 x (
) 2 x lim ( ) 1 x )(
3 x (
) 2 x )(
3 x lim (
3 x 3
x
3 x 3
x donc, x = -3 n’est pas une asymptote
−∞
− = + = +
− +
+∞
− = + = +
− +
− +
→
− −
→
−
−
0 6 ) 1 x )(
3 x (
) 2 x )(
3 x lim (
0 6 ) 1 x )(
3 x (
) 2 x )(
3 x lim (
1 x
1
x donc, x = -1 est une asymptote vert.
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e) ( x 1 ) ( x 3 ) ) x
x (
f
2+
−
= −
1) Le domaine de cette fonction est
R | { − 3 , 1 }
2) Donc, on vérifie la limite à gauche et à droite de x = -3
+∞
= + =
−
−
−∞
= + =
−
−
− +
→
− −
→
+
−
0 3 ) 3 x ( ) 1 x ( lim x
0 3 ) 3 x ( ) 1 x ( lim x
3 2 x
3 2
x donc, x = -3 est une asymptote verticale
−∞
− = + =
−
−
−∞
− = + =
−
−
→ +
→ +
+
−
0 1 ) 3 x ( ) 1 x ( lim x
0 1 ) 3 x ( ) 1 x ( lim x
1 2 x
1 2
x donc, x = -1 est une asymptote vert.
f) x
1 x 4 3 ) x (
f = + +
1) Le domaine de cette fonction est
x 〉 0
2) Donc, on vérifie la limite à droite de x = 0
+∞
= + =
+
+→ +
0
1 1 4 3
lim
0x
x
x
donc, x = 0 est une asymptote verticale
g) x 2
4 ) x
x ( f
2
−
= −
1) Le domaine de cette fonction est
R | { } 2
2) Donc, on vérifie la limite à gauche et à droite de x = 2
− = +
−
− = +
−
+
−
→
→
2 4 ) 2 )(
2 lim (
2 4 ) 2 )(
2 lim (
2 2
x x x x
x x
x
x donc, x = 2 n’est pas une asymptote verticale
h)
2
) 2 x )(
1 x ( x
x ) 4
x (
f
−
= −
1) Le domaine de cette fonction est
R | { 0 , 1 , 2 }
2) Donc, on vérifie la limite à gauche et à droite de x = 0
=
−
= −
−
−
=
−
= −
−
−
+ +
−
−
→
→
→
→
) 4 2 )(
1 ( lim 4 )
2 )(
1 ( lim 4
) 4 2 )(
1 ( lim 4 )
2 )(
1 ( lim 4
2 0
2 0
2 0
2 0
x x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
x
x donc, x = 0 n’est pas une asymptote verticale
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x = 1
−∞
=
=
−
= −
−
−
+∞
=
=
−
= −
−
−
→ +
→
→ +
→
+ +
−
−
0 4 )
2 )(
1 ( lim 4 )
2 )(
1 ( lim 4
0 4 )
2 )(
1 ( lim 4 )
2 )(
1 ( lim 4
2 1
2 1
2 2 1
2 1
x x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
x
x donc, x = 1 est une asymptote verticale
x = 2
−∞
=
=
−
= −
−
−
+∞
=
=
−
= −
−
−
→ +
→
→ −
→
+ +
−
−
0 4 )
2 )(
1 ( lim 4 )
2 )(
1 ( lim 4
0 4 )
2 )(
1 ( lim 4 )
2 )(
1 ( lim 4
2 2
2 2
2 2 2
2 2
x x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
x
x donc, x = 2 est une asymptote verticale
i) ( x 4 )( x 1 ) 2 ) x
x (
f + −
= +
1) Le domaine de cette fonction est
x > − 2 | { } 1
2) Donc, on vérifie la limite à gauche et à droite de x = 1
+∞
=
− = +
+
−∞
=
− = +
+
→ +
→ −
+
−
0 1 ) 1 )(
4 ( lim 2
0 1 ) 1 )(
4 ( lim 2
1 1
x x
x x x
x
x
x donc, x = 1 est une asymptote verticale
5) Déterminer la valeur de k, telle que :
a) x = -1 soit une asymptote verticale de la courbe définie par
k x 3
4 x ) 5 x ( f
2
+
= + ;
3
0 )
1 ( 3
=
= +
− k
k
−∞
= + =
+
− −
→ −
0
9 3 3
4 lim 5
2
1
x
x
x
, donc x = -1 est une asymptote verticale quand k = 3 b) x = 4 et x = -4 soient des asymptotes verticales de la courbe définie par
) k x (
7 x ) 5 x (
f
2+ +
= − .
16 0 16
−
=
= + k
k
+∞
=
− = +
−
− +
→ −
0
27 ) 16 (
7 lim 5
24
x
x
x
, donc x = -4 est une asymptote verticale quand k = -16 +∞
− =
− = +
−
→ −
0
−13 )
16 (
7 lim 5
24
x
x
x
