Licence Economie-Gestion 1`ere Ann´ee 2016-2017 Math´ematiques appliqu´ees
Exercices - s´erie n◦5
Exercice 1 R´esoudre dans IR3 les syst`emes suivants :
a)
2x+ y−z = 3 x+ 2y+z = 3
−2x+ 2y+z = 3
b)
x+ 2y+z = 1 3x+ 2y+z = 1 2x−2y−z = 1
c)
x+ 2y+z = 1 3x+ 2y+z = 1 2x−2y−z =−1.
Exercice 2 R´esoudre dans IR4 les syst`emes suivants :
1)
x− y+ z+t = 3
−x+ 2y+z−t = 3 2x− y +z+t = 2 x+ y+ 3z−5t = 3
2)
x+ 2y+ z +t = 7 x+ y + 2z−t = 2 x+ 2y− z + 2t = 9 x+ 3y+ z + 2t = 10.
Exercice 3 R´esoudre selon les valeurs du param`etre r´eel m les syst`emes suivants : a)
x+ y+ z = 1 x+ 2y+ 2z = 2 2x+ y+ z =m
b)
2x+y+ 2z = 0
3x+my+ 3z = 0.
Exercice 4 Pour quelle valeurs de mle syst`eme
x+ 2y−z = 1 3x+y+z = 2
−x+ 3y+mz = 3
admet-il une solution unique ?
Exercice 5 Calculer, s’il existe, l’inverse des matrices suivantes :
1)
1 1 2
2 −1 −2
0 0 1
2)
2 1 0
−3 −1 1
−1 0 2
3)
3 2 −2
−1 0 1 1 1 0
4)
2 −3 4 1 −1 0
−2 3 −2
.
Exercice 6 On consid`ere les matrices : A=
2 1 −1 1 2 1
−2 2 1
, et I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
CalculerA2,et donner une relation liant A2, A etI. En d´eduire que Aest inversible et d´eterminer A−1. A l’aide de A−1,retrouver les solutions du a) de l’exercice 1.
Exercice 7 On consid`ere les matrices : A=
3 2
1 2
,P =
2 −1
1 1
, et D=
4 0
0 1
.
1) CalculerD2,puis D3,et en d´eduire Dn pour toutn∈IN∗. 2) Montrer que P est inversible, et calculer P−1.
3) V´erifier queD=P−1AP,et d´eduire du 1) l’expression deAn pourn∈IN∗.
Exercice 8 On consid`ere les matrices : B =
1 2 1 −2 1 0 0 −1
−2 4 1 0 1 3 1 −2
, et I =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
.
a)Calculer B2, trouver une relation liantB2 et I.
b) On consid`ere d´esormaisA =B−2I. A l’aide du a), d´eterminer deux r´eels α et β tels que :A2+αA=βI. En d´eduire que A est inversible, et d´eterminer A−1.
c)Application : `a l’aide de b),r´esoudre le syst`eme suivant :
−x + 2y +z −2t = 5 x − 2y − t = 0
−2x + 4y −z = 0 x + 3y +z −4t = 5.
Exercice 9 L’entreprise Bertrand constate que la quantit´e Q de VTTs qu’elle parvient `a
´ecouler sur le march´e d´epend lin´eairement du prix unitaire de venteP.(En d’autres termes, on a : Q =aP +b, avec (a, b)∈IR2).L’ann´ee derni`ere, elle ´ecoulait 4000 v´elos `a 500 euros pi`ece.
Une ´etude de march´e montre qu’une baisse de prix de 8% entrainerait une hausse des ventes de 11%. En d´eduire les valeurs de a etb.
Exercice 10 L’entreprise Bertrand d´ecide d’´ecouler ses exc´edents de pi`eces d´etach´ees en commercialisant diff´erents lots destin´es `a des associations. Ces lots, not´es (L1), (L2), (L3) (L4),sont compos´es `a l’aide de guidons G, de roues R, de p´edaliers P et de selles S.
La fabrication peut ˆetre d´ecrite par la matrice technologique de production suivante : L1 L2 L3 L4
M =
1 2 5 25 2 5 12 60 1 3 8 39 1 4 12 57
G R P S
.
a) R´esoudre l’´equation matricielle : M
x y z t
=
59 141
90 k
pour toutes les valeurs du param`etrek.
b) On suppose disponibles en stock 59 guidons, 141 roues, 90 p´edaliers et un nombre inconnu dek selles. A l’aide de1), montrer que pour k = 129, on ne peut utiliser enti`erement les stocks de pi`eces d´etach´ees en fabriquantx lots (L1), y lots (L2), z lots (L3),ett lots (L4).
c) On suppose maintenant que k = 129 et on d´ecide de ne pas fabriquer de lot (L4).
Combien de lots (L1), (L2) et (L3) doit-on fabriquer pour ´epuiser l’ensemble du stock ?
