ECE2 Algèbre 2 - Espaces vectoriels de dimension finie Septembre 2021 - EXERCICE1 -
Déterminer une base des sous-espaces vectoriels deR3suivants puis préciser leur dimension.
1. A=Vect ((1, 4,−2); (−2,−8, 4)).
2. B=Vect ((1, 3,−3); (4, 2,−3); (−3, 1, 0)).
3. C=Vect ((1, 0,−1); (1, 1, 0); (1, 1, 1)).
- EXERCICE2 -
SoitEun espace vectoriel admettant pour base la famille :B=(e1,e2,e3,e4,e5).
Soientx,y,z,uetvles cinq vecteurs deEdont les coordonnées dans la baseBsont respectivement :
X=
1 1 1 1 1
; Y=
1 0 0 0 1
; Z=
1 0 0 0 1
; U=
1 0 0 0 1
; V=
2 1 1 1 2
Soit enfinDl’espace vectoriel engendré par les vecteursx,y,z,uetv.
Montrer que la famille F=(e1+e2+e3+e4+e5;e1+e5) est une base deD.
- EXERCICE3 -
Pour toute matriceA∈Mn(R), on note : E2(A)=©
X∈Mn,1(R)|AX=2Xª . 1. Montrer que l’ensembleE2(A) est un espace vectoriel.
2. On suppose quen=3 et on considère la matriceA=
3 0 1
−1 2 −1
−2 0 0
deM3(R).
Déterminer une base et la dimension deE2(A).
- EXERCICE4 -
1. F0=((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1); (1, 2, 3)) est elle une famille libre deR3? génératrice deR3? une base deR3? 2. F1=((1, 1, 2, 0); (0, 1,−1, 0); (0, 2, 0, 1)) est elle une famille libre deR4? une base deR4?
3. F2=
µµ1 2 3 0 1 0
¶
;
µ−1 −2 −3 1 −1 1
¶
; µ0 0 0
1 1 0
¶¶
est elle une famille libre deM2,3(R) ? génératrice deM2,3(R) ? 4. F3=¡
2X2+1; 4X−7¢
est elle une famille libre deR2[X] ? une base deR2[X] ? 5. F4=¡
1; (X−1); (X−1)2¢
est elle une famille libre deR2[X] ? une base deR2[X] ? - EXERCICE5 -
SoitE=©¡
x,y,z¢
∈R3|x−y+z=0ª .
1. Montrer queEest un espace vectoriel. En donner une baseBet préciser sa dimension.
2. Montrer que la famille B0=((1, 2, 1) ; (1, 1, 0)) est aussi une base deE.
3. Montrer que (−1, 1, 2)∈Eet déterminer ses coordonnées dans chacune des basesBetB0. - EXERCICE6 -
1. Montrer que la famille µµ1 0
0 1
¶ ,
µ1 0 0 −1
¶ ,
µ0 1 1 0
¶ ,
µ0 −1
1 0
¶¶
est une base deM2(R) puis déterminer les coor- données de
µ2 0 4 0
¶
dans cette base.
2. Montrer que la famille (X2,X(X−1), (X−1)2) est une base deR2[X] puis déterminer les coordonnées du polynômeP(X)=Xdans cette base.
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- EXERCICE7 -
1. Montrer que la famille ((1, 1,−1), (1, 0,−1), (1, 1, 1)) est une base deR3.
2. Plus généralement, soitEun espace vectoriel admettant la famille (e1,e2,e3) comme base.
On considère les vecteurs :e01=e1+e2−e3, e02=e1−e3 et e03=e1+e2+e3deE.
Montrer que la famille (e10,e02,e03) est une base deE.
- EXERCICE8 -
1. On considère la famille¡−→u,→−v,−→w¢
deR3avec−→u=(1, 0,−1),−→v =(−1, 2, 1) et−→w=(3,−4,−3)).
Déterminer le rang de la famille¡−→u,−→v,−→w¢ .
2. On considère la matriceA=
2 0 0 −1
0 1 0 0
0 0 1 0
−1 0 0 2
deM4(R).
(a) Déterminer le rang de la matriceAet de a matriceA−I.
(b) Ces matrices sont-elles inversibles ? - EXERCICE9 -
On considère les matrices deM3(R) suivantes :A=
1 2 3 0 1 2 0 0 1
,J=
0 1 0 0 0 1 0 0 0
,K=
0 0 1 0 0 0 0 0 0
.
On noteFl’ensembleF={M∈M3(R)|AM=M A}.
1. Montrer queFest un espace vectoriel.
2. Montrer que la familleB=(I,J,K) forme une base deFet préciser la dimension deF. 3. (a) Montrer que, pour toutn∈N,An∈F.
(b) Soitn∈N. Justifier qu’il existe trois réelsan,bnetcntels que : An=anI+bnJ+cnK puis écrire le vecteur des coordonnées deAndans la baseBen fonction dean,bnetcn.
4. SoitG=©
M∈M3(R)|tAM=MtAª
.On rappelle quetA désigne la transposée de la matrice A.
(a) Montrer que : M∈G ⇐⇒tM∈F.
(b) En déduire une base deGainsi que sa dimension.
Pour aller plus loin...
- EXERCICE10 -
SoitP(X)∈R2[X] fixé. On noteFl’ensemble des polynômeQdeR2[X] vérifiantQ(1)=0 et (PQ)0(1)=0.
1. Montrer queFest un sous-espace vectoriel deR2[X].
2. On suppose queP(X)=X. Déterminer une base et la dimension deF. - EXERCICE11 -
On admet que l’espace des fonctions de classeC2est un espace vectoriel.
Considérerons alors l’ensembleF=©
f∈C2(R)|f00=2f0−fª . 1. Montrer queFest un espace vectoriel.
2. Vérifier que les fonctions f1:x7→ex et f2:x7→xex appartiennent à l’ensembleF. 3. Soitf∈F. On définit alors h:x7→e−xf(x).
(a) Montrer que :h00=0.
(b) En déduire l’expression dehpuis celle def. 4. En déduire une base et la dimension deF.
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