Lycée Louis-Le-Grand,Paris Pour le 20/05/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
DM n
o20 : Espaces vectoriels, dimension
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, via l’assistant Tigroesch sur Discord ou par mail à l’adresse suivante : [email protected]. Merci de respecter la consigne suivante pour le nom du fichier : dm20-nom.pdf (par exempledm20è!-troesch.pdfsi c’est ma copie), sans accent, sans tréma, sans espace.
Suggestion de travail supplémentaire (à ne pas me rendre) :
Le problème 17 est un peu sur le même thème que le problème 2 du DM, dans le sens où il tourne autour des notions d’algébricité, mais dans un contexte plus général. Il aborde un résultat préliminaire à la théorie de Galois.
Problème 1– Complexifié d’un espace vectoriel surR
On rappelle que tout espace vectoriel sur C peut être considéré comme un espace vectoriel sur R. On distinguera soigneusement, pour unC-espace vectorielE, les notions de :
‚ sous-espace(pour la structure complexe)
‚ sous-espace surR(pour la structure réelle)
‚ sous-espace réel (défini en 2)
Dans tout le problème,E désigne un espace vectoriel surC.
1. Vérifier que tout sous-espace deE est un sous-espace deE surR, et que la réciproque est fausse.
2. Soit F un sous-espace de E sur R; on noteiF l’ensemble des vecteurs de la forme ix, pour xdécrivantF : ainsi,iF “ tix|xPFu. On dit queF est unsous-espace réel siF XiF “ t0u.
(a) Vérifier queiF est un sous-espace vectoriel deEsurR.
(b) Montrer queipiFq “F.
(c) SiF est de dimension finie, exprimer une base (surR) deiFen fonction d’une base (surR) donnéeb1, . . . , bn
deF. Déterminer une relation entredimpFqet dimpiFq.
(d) Montrer queFXiF est le plus grand sous-espace deE inclus dans F.
(e) Montrer que tout supplémentaire de FXiF dansF est un sous-espace réel deE.
3. SoitF un sous-espace réel deE. Vérifier que :
(a) toute famille libre (sur R) dansF est libre surCdansE.
(b) sidimCE“n, on a dimRFďn, avec égalité si et seulement siE“F‘iF.
4. Soit G un sous-espace de E de dimension finie. Montrer que G contient un sous-espace réel F vérifiant : F‘iF “G. Un tel sous-espace est-il unique ?
˚5. En utilisant l’axiome du choix, généraliser la question précédente au cas d’un sous-espace de dimension infinie.
6. SoitF un espace vectoriel surRquelconque.
(a) Vérifier qu’on définit une structure d’espace vectoriel complexe surFˆF par les opérations : px, yq ` px1, y1q “ px`x1, y`y1q et pa`ibq ¨ px, yq “ pax´by, bx`ayq.
On note FC l’espace vectoriel ainsi obtenu. Cet espace est appelé lecomplexifié deF. On note encoreF le sous-espace vectoriel surRdeFC consitué des élémentspx,0q, pourxPF.
(b) Montrer queF est un sous-espace réel deFC. (c) Montrer queFC“F‘iF.
(d) Un sous-espace réel deFC est-il forcément un sous-espace surRdeF?
1
7. Soit E un espace vectoriel sur C (de dimension finie). Existe-t-il un espace vectoriel F sur Rtel que E soit isomorphe au complexifié deF?
Problème 2– La quadrature du cercle
Le but de ce problème est de démontrer la transcendance deπ, résultat prouvé par Lindemann à la fin du 19e siècle, et qui met fin à plusieurs siècles, voire millénaires de recherche sur la quadrature du cercle : en effet, une conséquence de la transcendance de πest l’impossibilité de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle donné.
On commence par l’étude de propriétés des nombres algébriques, le point nous intéressant plus particulièrement étant la stabilité par produit. Ceci nous permet de nous ramener à l’étude de la transcendance deiπ, qu’on étudie en remarquant de ce nombre vérifie une équation simpleeiπ`1“0.
On pourra admettre que si A est un anneau intègre et si P PArX1, . . . , Xns est un polynôme symétrique en les Xi
(c’est-à-dire invariant par permutation des variables), de degrén, alors il peut s’écrire comme polynôme à coefficients dansA, de degré au plusn, en les polynômes symétriques élémentaires
Σk“ ÿ
1ďi1㨨¨ăikďn
Xi1¨ ¨ ¨Xik,
propriété démontrée dans un DM.
Partie I – Extensions algébriques
Soit K un corps. On appelle extension de K un corps L tel queK soit un sous-corps de L. SoitL une extension de K, etαPL. On dit queαest algébrique surK s’il existe un polynômeP PKrXsnon nul tel que Ppαq “0.
Par exemple, dire d’un élément α de C est algébrique sur Q équivaut à dire qu’il existe un polynôme à coefficients rationnelsP ‰0tel quePpαq “0. Quitte à multiplier les coefficients par le ppcm des dénominateurs des coefficients, cela équivaut à dire qu’il existe un polynôme non nul à coefficients entiers annulantα.
Un élémentαPLnon algébrique sur K sera dit transcendant surK.
1. Degré d’une extension
(a) SoitLune extension deK. Montrer queLest un espace vectoriel surK. SiLest de dimension finie surK, on noterL:Kssa dimension, appelée degré de l’extensionL surK.
(b) Soit L une extension de K de degré fini rL : Ks, et M une extension de L de degré fini rM : Ls. En considérant la famillepaibjq, oùpaiqest une base deLsurK et pbjqune base deM surL, montrer queM est une extension de Kde degré fini, et qu’on a la relation :
rM :Ks “ rM :LsrL:Ks.
2. Adjonction d’un élément à un corps
(a) Soit αPL. On noteKpαq le plus petit sous-corps deLcontenantK et α. Justifier l’existence deKpαq, et justifier que c’est une algèbre surK.
(b) On suppose dans cette question queαest algébrique.
i. Justifier l’existence d’un polynôme unitaire de degré minimalPα tel quePαpαq “0, et justifier quePα
est irréductible dansKrXs.
ii. Soitϕα l’unique application K-linéaire de KrXsdans Krαs telle que pour tout k P N, ϕpXkq “ αk. Justifier queϕest un morphisme d’algèbre (c’est-à-dire qu’en plus d’être une application linéaire, c’est aussi un morphisme d’anneau), et déterminer son noyau.
iii. En déduire que Kpαqest isomorphe àKrXs{pPαq, oùpPaqdésigne l’idéal engendré parPα
iv. Soitp:KrXs ÞÑKrXs{pPαqla projection canonique associant à un polynômeP sa classe dans le quo- tient. Montrer queppp1q,¨ ¨ ¨ , ppXd´1qqest une base duK-espace vectorielKrXs{pPαq, oùd“degpPαq.
3. Caractérisation des éléments algébriques
Montrer queαPL est algébrique sur K si et seulement si l’extension Kpαqsur K est de degré fini, ce qu’on noterKpαq:Ks ă `8.
2
4. Produit d’éléments algébriques.
On dit que l’extensionLsurK est algébrique si et seulement si tout élémentαPLest algébrique surK.
(a) Montrer que sirL:Ksest fini, alorsLest algébrique surK.
(b) Soit Lune extension du corpsK et M une extension du corpsL. Montrer que siαPM est algébrique sur K, alors il est algébrique surL.
(c) En déduire que siLest une extension deK, et si deux élémentsαetβdeLsont algébriques, alorsKpαqpβq (corps obtenu en ajoignantβ au corps obtenu en adjoignantαàK) est algébrique surK.
(d) En déduire que le produit de deux nombres algébriques est algébrique.
Partie II – Transcendance deπ
Dans cette partie, on dira simplement que αPCest « transcendant » ou « algébrique », à la place de « transcendant surQ» ou « algébrique sur Q».
On démontre la transcendance deπpar l’absurde. Pour cela, on suppose queπest algébrique. On admettra queπn’est pas rationnel, propriété qu’on prouvera en exercice au courant de l’année.
1. Montrer que sous la supposition faite iπest algébrique.
2. SoitP un polynôme minimal unitaire annulantiπ, et soitnson degré.
(a) Soit Kun corps etLune extension deK. SoitQet Rdeux polynômes deKrXs. Montrer queQetRsont premier entre eux dansKrXssi et seulement si ils sont premiers entre eux dansLrXs.
(b) Justifier que P est irréductible dans QrXs, et que toutes ses racines dans C sont simples. On les note α1, . . . , αn, en adoptant une numérotation de ces racines de sorte que α1“iπ. Pourquoi peut-on affirmer queną1?
3. On définit le polynômeQ0PZrX, X1, . . . , Xns “ZrXsrX1, . . . , Xnspar
Q0“X
n
ź
k“1
˜ ź
1ďi1㨨¨ăikďn
pX´Xi1´ ¨ ¨ ¨ ´Xikq
¸
“ ź
IĂv1,nw
˜ X´ÿ
iPI
Xi
¸ .
(a) Montrer qu’en tant que polynôme des indéterminéesX1, . . . , Xn à coefficients dansZrXs,Q0est symétrique enX1, . . . , Xn.
(b) On définit le polynômeQ1PCrXspar :
Q1pXq “Q0pX, α1, . . . , αnq.
On noteγ0,¨ ¨ ¨ , γs les racines non nécessairement distinctes deQ1, pouvant donc s’exprimer facilement en fonction des αi. On adopte une numérotation de ces racines de sorte queγ0“0.
Justifier queQ1PQrXs.
Il existe donc un polynômeQ2 à coefficients entiers, dont les γi sont les racines, obtenu en multipliant Q1par un certain entier. On se donne un tel polynômeQ2 dans la suite du problème.
(c) En considérant le produit
n
ź
i“1
peαi`1q, justifier que l’on a :
eγ0` ¨ ¨ ¨ `eγs “0.
Quitte à regrouper les exponentielles égales à1et à réindexer lesγi, on peut supposer qu’on a une relation eγ1` ¨ ¨ ¨ `eγr`m“0,
où les γi sont cette fois tous non nuls nuls, et m est un entier strictement positif. Ainsi, 0 est racine de multiplicitém deQ2. On définitQPZrXsparQ2“XmQ. Ainsi, les racines deQsont exactement lesγi, iP v1, rw.
3
4. Soitc le coefficient dominant deQetpun nombre premier. L’entierrest comme ci-dessus. On définit : fpXq “ crp´1
pp´1q!Xp´1pQpXqqp et FpXq “fpXq `f1pXq ` ¨ ¨ ¨ `fprp`p´1qpXq.
(a) Soit gla fonction définie surRpar :
gpxq “e´xFpxq.
Exprimerg1 en fonction de f. (b) En déduire que pour toutxPR,
Fpxq ´exFp0q “ ´x ż1
0
ep1´λqxfpλxqdλ, puis que
r
ÿ
j“1
Fpγjq `mFp0q “ ´
r
ÿ
j“1
γj
ż1
0
ep1´λqγjfpλγjqdλ.
(c) Montrer que pour tout kP v1, p´1w,fpkqpγjq “0.
(d) En utilisant la symétrie en lesγjde l’expression
r
ÿ
j“1
Fpγjq, montrer que
r
ÿ
k“1
Fpγjqest un entier divisible par p.
(e) En déduire que
r
ÿ
j“1
Fpγjq `mFp0q ”mcrp´1cp0 rps,
oùc0 est le coefficient constant deQ.
(f) En déduire que pour toutppremier suffisamment grand,
r
ÿ
j“1
Fpγjq `mFp0qest un entier non nul.
5. Montrer que πest transcendant.
4
