Chapitre 18. Espaces vectoriels de dimension finie

Chapitre 18. Espaces vectoriels de dimension finie 1 Définitions et lemmes fondamentaux

1.1 Sous-familles

Définition 1.1.

∗ Une sous-famille d’une familleF= (xi)i∈Iest une famille de la forme(xj)j∈JoùJ⊆ I

∗ En particulier, une sous-famille de(x_i)ⁿ_i=1est une famille de la forme(x_ik)^r_k=1 où 1≤i₁<i₂<_...<ir≤n

Proposition 1.2. SoitFune famille de vecteurs d’un evEetGune sous-famille deF.

∗ SiFest libre, alorsGaussi.

∗ SiGest génératrice, alorsFaussi.

Lemme 1.3(Lemme de précipitation). Soit(x1, ... ,xn)une famille libre d’un evEety∈E.

Alors(x₁, ... ,xn,y)est liée ssiy∈Vect(x₁, ... ,xn)

1.2 Espaces vectoriels de dimension finie

On fixe un evE.

Lemme 1.4(Théorème de la base incomplète, version forte).

Soit(x1, ... ,xn,y1, ... ,yp)une famille de vecteurs de E telle que :

∗ (x₁, ... ,xn)_libre.

∗ (x1, ... ,xn,y1, ... ,yp)génératrice.

Alors il existent 1≤j₁<...<jr ≤ ptels que(x₁, ... ,xn,y_j1, ... ,y_jr)soit une base deE.

Corollaire 1.5(théorème de la base extraite). Soit(y1, ... ,yp)une famille génératrice deE.

Alors on peut en "extraire" une base : il existe 1≤j₁<...<jr ≤ptels que(y_j1, ... ,y_jr)soit une base deE.

Corollaire 1.6. Eadmet une base finie ssiEadmet une famille génératrice finie.

Définition 1.7. On dit queEest de dimension finie s’il admet une base finie (ou une famille génératrice finie, puisque c’est équivalent).

Corollaire 1.8(Théorème de la base incomplète, version faible). SupposonsEde dimension finie.

Soit(x1, ... ,xn)une famille libre de vecteurs deE. On peut alors la "compléter" en une base : on peut trouverz₁, ... ,zr ∈Etels que(x₁, ... ,xn,z₁, ... ,zr)soit une base deE.

1.3 Dimension

Lemme 1.9(Lemme de l’échange de Steinitz). Soite₁, ... ,en⊆E.

Alors toute famille den+1 vecteurs de Vect(e1, ... ,en)est liée.

Corollaire 1.10. SoitEun espace vectoriel de dimension finie.

∗ SiLest une famille libre de vecteurs deEetGune famille génératrice de vecteurs deE alorsGa au moins autant d’éléments queL.

∗ Toutes les bases deEont le même nombre d’éléments.

Définition 1.11. SoitEun evdf [ev de dimension finie].

On en définit sa dimension dimE∈_Ncomme étant le nombre de vecteurs de ses bases.

Définition 1.12.

∗ Une droite (vectorielle) est un ev de dimension 1.

∗ Un plan (vectoriel) est un ev de dimension 2.

Théorème 1.13. SoitEun evdf etF = (x₁, ... ,xn)une famille de vecteurs deE.

Alors :

∗ SiF est libre, on an≤dimE

∗ SiF est génératrice, on a dimE≤n

∗ Sin=dimE, alors LASSÉ : (i) F libre.

(ii) F engendreE.

(iii) F est une base deE.

1.4 Retour aux familles échelonnées

Théorème 1.14. SoitP0,P1, ... ,P_k ∈K[X]tels que∀i∈J0,nK, degP_i =i.

Alors(P₀, ... ,Pn)est une base deKn[X]_.

1.5 Classification des evdf à isomorphisme près

Théorème 1.15. SoitE,Fdeux ev.

∗ SiEetFsont isomorphes,Eest de dimension finie si et seulement siFl’est.

∗ SiEetFsont de dimension finie, alorsEetFsont isomorphes ssi dimE=dimF.

2 EV de dimension infinie (hors-programme)

SiEpossède une famille libre infinie(ei)_i∈I, alorsEest de dimension infinie (càd qu’il n’est pas de dimen- sion finie).

En effet, si Eétait de dimension finie d = dimE on pourrait extraire de(ei)i∈I une famille (nécessairement libre) àd+1 vecteurs, ce qui est absurde. Cela donne des exemples d’espaces vectoriels de dimension infinie :

∗ K[X], avec sa base(Xⁿ)_n∈N

∗ _R^N, e.g.







(1, 0, 0, 0, ... , ) (0, 1, 0, 0, ... , ) (0, 0, 1, 0, ... , ), etc...







∗ R^R, ouC^∞(R,R)e.g.(x→e^αx)_α∈R Toute la suite du B est hors-programme.

2.1 Existence de bases

∗ Le lemme de précipitation marche très bien avec des familles infinies.

∗ Le théorème de la base incomplète reste vrai avec essentiellement la même preuve : la famille libre maximale est fournie par le lemme de Zorn.

Lemme 2.1. Soit(I_τ)_τ∈Tune famille d’ensembles telle que∀τ₁,τ₂∈T,I_τ1 ⊆ I_τ2 ouI_τ2 ⊆I_τ1 On noteI= ^S

I∈TIτet on prend une famille(xi)_i∈I.

Si toutes les familles(x_i)_i∈Iτsont libres, alors(x_i)_i∈Iest libre.

Corollaire 2.2. Tout espace vectoriel admet une base.

2.2 Définition de la dimension

Lemme 2.3. Soit(x_i)_i∈Iet(y_j)_j∈June famille libre de vecteurs de Vect(x_i)_i∈I Alors il existe une injectionJ→I.

Corollaire 2.4. Si(ei)_i∈Iet(fj)_j∈Jsont deux bases d’un même evE, alorsIetJsont en bijection.

2.3 Bases de Hamel

Définition 2.5. Une base de Hamel est une base duQ-evR.

3 Sous-espaces vectoriels et dimensions

3.1 Inégalité des dimensions, base adaptée

Théorème 3.1. SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFun sev deE.

AlorsFest de dimension finie et dimF≤dimE.

Théorème 3.2. SoitEun evdf etFun sev deE.

Alors il existe une base(e₁, ... ,er,e_r+1, ... ,en)deEtelle que(e₁, ... ,er)soit une base deF.

Théorème 3.3. SoitEun evdf etFun sev deE.

Si dimF=dimE, alorsF=E.

Définition 3.4. Un hyperplan d’un espace vectoriel de dimension finie E est un sev de E de dimension dimE−1 .

3.2 Sommes (directes) et dimension

Lemme 3.5. Soit Eun espace vectoriel etF1, ... ,Fr des sous-espaces vectoriels deEde dimension finie et en somme directe. Alors^L

i=1

Fiest de dimension finie et dim(^L

i=1

Fi) = _∑^r

i=1

dimFi

Proposition 3.6. SoitE₁, ... ,Erdes espaces vectoriels de dimension finie.

AlorsE₁×...×Erest de dimension finie, et dim(E₁×...×Er) = _∑^r

i=1

dimE_i Proposition 3.7. SoitEun evdf etFun sev deE.

Alors F possède (au moins) un supplémentaire dansEet tous les supplémentaires de Fsont de dimension dimE−dimF

Théorème 3.8(Formule de Grassmann). SoitEun ev. SoitF,Gdeux sev deEde dimension finie.

Alors dim(F+G) =dimF+dimG−dim(F∩G)

Théorème 3.9. SoitF,Gdeux sev de dimension finie d’un evE.

∗ FetGsont en somme directe ssi dim(F+G) =dimF+dimG

∗ SupposonsEde dimension finie dimE=dimF+dimG.

Alors les assertions suivantes sont équivalentes : (i) FetGsont en somme directe.

(ii) F+G=E

(iii) FetGsont supplémentaires :E=F⊕G

3.3 Rang d’une famille de vecteurs

Définition 3.10. Soitx₁, ... ,xpdes vecteurs d’un evE.

On définit le rang de cette famille : rg(x1, ... ,xp) =dim Vect(x1, ... ,xp) Proposition 3.11.

∗ On a rg(x1, ... ,xp)≤ p

∗ SiEest de dimension finie, rg(x₁, ... ,xp)≤dimE( et donc rg(x₁, ... ,xp)≤min(p, dimE))

∗ On a(x₁, ... ,xp)libre ssi rg(x₁, ... ,xp) =p

∗ On a(x1, ... ,xp)engendreEssi rg(x1, ... ,xp) =dimE

∗ (x₁, ... ,xp)est une base deEssi rg(x₁, ... ,xp) =p=dimE

4 Applications linéaires et dimensions

4.1 Injectivité et surjectivité

Théorème 4.1. SoitEetFdeux espaces vectoriels etf ∈ L(E,F)

∗ SiFest de dimension finie et f injective, alorsEest de dimension finie et dimE≤dimF

∗ SiEest de dimension finie et que f est surjective, alorsFest de dimension finie et dimF≤dimE

∗ SiEetFsont de dimension finie et que dimE=dimF, LASSÉ : (i) f injective.

(ii) f surjective.

(iii) f est un isomorphisme.

Corollaire 4.2. SoitEun evdf et f ∈ L(E).

Alors f injectif ⇐⇒ f surjective ⇐⇒ f ∈GL(E) Corollaire 4.3. SoitEun evdf etu∈ L(E)_{. LASSÉ :}

(i) uest inversible à gauche :∃v∈ L(E),v◦u=id_E (ii) uest inversible à droite :∃v∈ L(E),u◦v=idE

(iii) uest un isomorphisme.

Théorème 4.4. SoitAuneK-algèbre etBune sous-algèbre deAde dimension finie.

Soitx ∈B∩A^×(càdx∈Bet il possède un inverse dansA).

Alorsx∈B^×(càd l’inversex⁻¹∈B).

4.2 Rang d’une application linéaire

Définition 4.5. SoitE,Fdeux ev et f ∈ L(E,F)

∗ On dit que f est de rang fini si imf est de dimension finie.

∗ Si c’est le cas, le rang def est rg(f) =dim(imf)

Proposition 4.6. SoitE,Fdeux espaces vectoriels et f ∈ L(E,F)

∗ SiEest de dimension finie, alors f est de rang fini, est rgf ≤dimE

∗ SiFest de dimension finie, alorsf est de rang fini, est rgf ≤dimF Proposition 4.7. SoitE,F,Gtrois espaces vectoriels et f ∈ L(E,F),g∈ L(F,G).

∗ Si f est de rang fini, alorsg◦f aussi et rg(g◦f)≤rgf

∗ Sigest de rang fini, alorsg◦f aussi et rg(g◦f)≤rgg Proposition 4.8. On reprend les notations de la question précédente.

∗ Si f est un isomorphisme et quegest de rang fini, on a rg(g◦f) =rgg

∗ ◦

4.3 Théorème du rang

Théorème 4.9 (du rang / rank-nullity theorem). Soit E, F deux espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E,F).

∗ SoitSun supplémentaire de kerf dansE(E=kerf ⊕S).

Alors f induit un isomorphisme ˜f :S→imf

∗ On a la formule du rang : rgf =dimE−dim kerf Corollaire 4.10. Avec les mêmes notations, on a :

∗ f injective ⇐⇒ dim kerf =0 ⇐⇒ rgf =dimE

∗ f surjective ⇐⇒ rgf =dimF

∗ f iso ⇐⇒ rgf =_dimE=_dimF On retrouve les résultats de la section 1.

4.4 Formes linéaires et hyperplans

Définition 4.11. SoitEun espace vectoriel de dimension finie.

Une forme linéaire surEest une ALE→K.

On noteE^∗=L(E,K)et on appelle dual deEl’espace des formes linéaires surE.

Proposition 4.12. Soit E un espace vectoriel de dimension finie.

∗ Soitα∈ E^∗non nulle. Alors kerαest un hyperplan deE.

∗ SoitHun hyperplan deE

— Il existeα∈E^∗non nulle tel queH=kerα

— Siα,β∈E^∗vérifient kerα=kerβ= Halors∃λ∈K\ {0}:β=λα Proposition 4.13. SoitEun ev de dimensionn.

∗ Tout sevFdeEde dimensiondest l’intersectionF=H₁∩...∩Hn−dden−dhyperplans.

∗ Réciproquement, siH1, ... ,Hrsontrhyperplans deE, alors dim(H1∩...∩Hr)≥n−r.

Définition 4.14. Étant donné un sevFdeE, on définit sa codimension cod(F) =dimE−dimF Lemme 4.15. SiF1, ... ,Fr sont des sev deE, alors cod(F1∩...∩Fr)≤ _∑^r

i=1

cod(Fi)

5 Représentation matricielle

5.1 Matrices d’un vecteur, d’une famille, d’une AL

Dans toute cette section,Eest un espace vectoriel de dimp, muni d’une baseB= (e₁, ... ,ep) Fest un espace vectoriel de dimn, muni d’une baseC= (f1, ... ,fp) Rappel : Tout vecteury∈ Fa une matrice MatC(y) =







 λ₁

... λn









, oùλ₁, ... ,λn ∈Ksont tels quey= _∑ⁿ

i=1

λ_if_i

Définition 5.1. Soity1, ... ,yp∈F. On définit la matrice de la famille(y1, ... ,yp)dans la baseC: MatC(y₁, ... ,yp) =MatC(y₁) · · · MatC(yp)∈ Mnp(K) Définition 5.2. Soitu∈ L(E,F). On définit le matrice deudans les basesBetC:

MatB,C(u) =MatC(u(e1), ... ,u(ep)) =MatC(u(e1)) · · · MatC(u(ep))∈ Mnp(K)

Définition 5.3. Soitu∈ L(E). On définit la matrice deudans la baseB: MatB(u) =MatB,B(u)∈Mp(K) Proposition 5.4("évaluer c’est multiplier"). Soitx∈E.

Alors

MatC(u(x)) =MatB,C(u)MatB(x) Corollaire 5.5. Soitu∈ L(E,F). On a :

∗ Pour toutx∈E,x∈keru ⇐⇒ MatB(x)∈ker MatB,C(u)

∗ Pour touty∈F,y∈imu ⇐⇒ MatC(y)∈im MatB,C(u)

Proposition 5.6("composer c’est multiplier"). SoitE,F,Gtrois evdf de bases B= (e₁, ... ,ep),C = (f₁, ... ,fn),D= (g₁, ... ,gm) etu∈ L(E,F)etv∈ L(F,G) Alors

MatB,D(v◦u) =MatC,D(v)MatB,C(u)

5.2 Application linéaire associées à des matrices

Théorème 5.7.

∗ MatC :F→Kⁿest un isomorphisme (d’év).

∗ MatB,C :L(E,F)→Mnp(K)est un isomorphisme (d’év).

∗ MatB :L(E)→Mp(K)est un isomorphisme (d’év).

Corollaire 5.8. On a dimL(E,F) =dimE·dimF Corollaire 5.9(du corollaire).

∗ dimL(E) = (dimE)²

∗ dimE^∗=dimL(E,K) =dimE Corollaire 5.10. Soitu∈ L(E)

Alorsuest un automorphisme ssi MatB(_u)est inversible.

Autrement dit :u∈GL(E) ⇐⇒ MatB(u)∈GLp(K)

5.3 Rang d’une matrice

Définition 5.11. SoitA∈Mnp(K)

On définit le rang deA: rgA=dim(imA) Proposition 5.12.

∗ Soity1, ... ,yp∈F. On a rg(y1, ... ,yp) =rg MatC(y1, ... ,yp)

∗ Soitu∈ L(E,F)_{. On a rg}u=_{rg MatB,C}(u) Théorème 5.13.

∗ ∀A∈ Mnp(K), rgA≤min(n,p)

∗ ∀A∈ Mnp(K),∀B∈Mpq(K), rg(AB)≤(rgA, rgB)

∗ ∀A∈ Mnp(K),







∀P∈GLn(K), rg(PA) =rgA

∀Q∈GLp(K), rg(AQ) =rgA

Théorème 5.14(Théorème du rang).

∗ ∀A∈ Mnp(K), rgA= p−dim kerA

∗ Pour toutA∈Mnp(K), kerA={0_KP} ⇐⇒ rgA= p imA=Kⁿ ⇐⇒ rgA=n

∗ En particulier, pour toutA∈ Mn(K), on a

rgA=n ⇐⇒ A∈GLn(K) ⇐⇒ kerA={0_Kⁿ} ⇐⇒ imA=Kⁿ

Corollaire 5.15. SoitA∈Mnp(K)etA^′ ∈Mnp(K)la matrice obtenue en effectuant des opérations élémentaires (échanges, dilatations, transvections) sur les lignes et les colonnes deA. Alors rg(A^′) =rg(A)

"Le rang est invariant par opérations élémentaires".

6 Changement de bases

6.1 Formules

Définition 6.1. SoitFun ev de dimensionnetC = (f1, ... ,fn)etC^′= (f₁^′, ... ,f_n^′)deux bases deF.

On définit la matrice de passage deCàC^′:

P_C→C^′ =MatC(C^′) =MatC(f₁^′, ... ,f_n^′) Proposition 6.2. SoitFun ev de dimnetC,C^′deux bases deF.

∗ On aPC→C^′ =MatC^′,C(idF)

∗ On aP_C→C^′ ∈GLn(K)etP_C→C⁻¹ ′ =P_C^′_→C

∗ Pour toute matrice Q ∈ GLn(K) et toute base D de F, il existe une unique base D^′ de F telle que PD→D^′=Q

Théorème 6.3(Changement de bases pour un vecteur). SoitFun ev de dimnetC,C^′deux bases deF.

Pour toutx∈F, on a

Mat_C^′(x) =P_C→C⁻¹ ′MatC(x)

Théorème 6.4(Changement de bases pour les AL). SoitEetFdeux ev, de dimensionpetnrespectivement.

SoitB,B^′deux bases deEet deux basesC,C^′de F. Alors, pour toutu∈ L(E,F), on a MatB^′,C^′ =P_C→C⁻¹ ′MatB,C(u)PB→B^′

Corollaire 6.5. SoitEun ev de dimpetB,B^′deux bases deE. Pour toutu∈ L(E), on a : Mat_B^′(u) =P_B→B⁻¹ ′MatB(u)P_B→B^′

6.2 Similitude

Définition 6.6. Deux matricesA,B∈Mp(K)sont semblables (et on noteA∼B) si∃P∈GLp(K):B=P⁻¹AP Remarque : D’après ce qui précède,A∼Bssi elles représentent le même endomorphisme dans deux bases.

Proposition 6.7. ∼est une relation d’équivalence surMp(K)

6.3 Équivalence

Définition 6.8. SoitA,B∈ Mnp(K).

On dit queAetBsont équivalents s’il existeP∈GLn(K)etQ∈GLp(K)telles queB=PAQ

Remarque : Deux matrices sont équivalentes ssi elles représentent la même AL dans deux couples de base.

Proposition 6.9. La relation d’équivalence est une relation d’équivalence.

Théorème 6.10.

∗ Deux matrices deMnp(K)sont équivalentes ssi elles ont le même rang.

∗ Toute matrice deMnp(K)_{de rang}r∈J0, min(n,p)_Kest équivalente à

Jr=























 1

1

1 (0)

. ..

1

(0) (0)

























=

∑

E_k,k

6.4 Rang d’une transposée

Théorème 6.11. SoitA∈ Mnp(K). Alors rg(A) =rg(A^T)

Lemme 6.12. B^∗= (e^∗₁, ... ,e^∗_n)est une base deE^∗(que l’on appelle la base duale deB).

Définition 6.13. SoitA∈Mnp(K).

SoitI={i₁, ... ,iq} ⊆J1,nKetJ={j₁, ... ,js} ⊆J1,pKtels quei₁<...<iqetj₁<...< js

On définit alors la matrice extraite :

AI,J= (ai_k,j_l)_1≤k≤q

1≤l≤s

∈Mqs(K)

Autrement dit, on ne garde que les lignes dont le numéro appartient àIet les colonnes dont le numéro appar- tient àJ.

Théorème 6.14. SoitA∈ Mnp(K).

∗ Toute matrice extraite deApossède un rang≤rgA

∗ Le rang deAest la taille maximale d’une matrice carrée inversible extraite deA.

6.5 Forme des matrices carrées

SoitEun ev de dimensionnetB = (e₁, ... ,en)une base deE. Examinons des cas où MatB(u)possède des formes remarquables.

1)

MatB(u) =







 λ₁

. ..

λn









∈Dn(K)

signifie∀i∈J1,nK,u(e_i) =λ_ie_i

MatB(u)est diagonalisable ssiBest une base de vecteurs propres deu. On dira queuest diagonalisable s’il existe une telle base.

2)

MatB(u) = ∗ ∗ (0) ∗

!

"triangulaire par blocs"

Signifie∀i∈J1,rK,u(ei)∈Vect(ei, ... ,er) Autrement dit, Vect(e₁, ... ,er)stable sousu.

3)

MatB(u) = ∗ (₀) (0) ∗

!

"diagonale par blocs"

Signifie que Vect(e₁, ... ,er)et Vect(e_r+1, ... ,en)sont stables sousu.

Autrement dit,ustabilise les deux sev de la décompositionE=Vect(e1, ... ,er)⊕Vect(er+1, ... ,en) 4)

MatB(u) =









∗ (∗)

. ..

(0) ∗









∈T_n⁺(K)

Signifie queustabilise tous les sev Vect(e₁, ... ,e_k), pour k ∈ _J0,nKqui forment une suite de sev emboîtés les uns dans les autres (ce qu’on appelle un drapeau. Ici, on a des sev de toutes les dimensions, donc on parle de drapeau complet).