Cours 00B : Espaces vectoriels, dimension

Cours 00B : Espaces vectoriels, dimension

...

TABLE DES MATIÈRES

1 Espaces Vectoriels 1

1 Premiers exemples . . . 1

2 Familles génératrices, familles libres . . . 2

2 Les sous-espaces vectoriels 4 1 Definitions . . . 4

2 Les sytèmes linéaires . . . 6

3 Deux opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . 7

4 Somme directe et supplémentaires . . . 8

3 Espaces vectoriels finiment engendrés 10 1 Dimension . . . 10

2 Dimension et sous-espace vectoriel . . . 13 ...

1

ESPACESVECTORIELS

Ksera toujours un corps commutatif. Je n’en redonne pas la définition ici, ce sera l’objet d’un cours ultérieur. Pour nous,KseraRouCou plus rarementQ. De même, je ne redonne pas la définition d’un espace vectorielE surK, en vous renvoyant au cours de l’an passé. Rappelons simplement que les éléments de E sont appelés vecteurs, et que l’on dispose d’une loi interne commutatif notée +, et d’une loi externe notée . qui est la multiplication par un élément du corps K(qui eux sont appelés scalaires).

§ 1.

Premiers exemples.—

ÏKⁿ Commençons par l’exemple que nous avons tous en tête, l’ensemble des vecteurs du plan.

Quitte à prendre une base (~i,~j) de ce plan, celui-ci s’identifie avec les vecteurs colonnes à deux composantes, que l’on noteR². On ne voit aucun obstacle à l’idée de remplacer 2 parnetRpar n’importe quel corps. Finalement, pour toutn∈N^∗,Kⁿest unK−espace vectoriel , où

Kⁿ=











 x₁

... xn





où tous lesx_i appartiennent àK





 .

La somme de deux vecteurs s’effectue composante par composante, et pour multiplier un vec- teurX par un scalaireλ, on multiplie chacune de ses composantes parλ. Enfin, sachez que l’on peut voirCⁿcomme un espace vectoriel surRou surC.

ÏK[X] L’ensemble des polynomes à coefficients dans le corps K, que l’on note K[X], est un K−espace vectoriel lorsqu’on le munit des lois habituelles+et “.” que l’on rencontre dans l’es- pace des fonctions.

ÏMn,p(K) Soientn,p∈N^∗, etE =Mn,p(K) l’ensemble des matrices à coefficients dansK, àn lignes etpcolonnes est unK−espace vectoriel lorsqu’on le munit des deux lois :

• ∀A=(a_i,j),B=(b_i,j)∈E,A+B=(a_i,j+b_i,j)∈E.

• ∀A=(a_i,j),λ∈K,λ.A=¡

λ×a_i,j¢

∈E.

Nous vous laissons le plaisir de le prouver, même s’il s’agit exactement du même résultat que celui surKⁿ, où l’on a simplement disposé les coefficients différemment.

ÏF^(I,K) etF^{(I,F) SoitI} un ensemble quelconque, qui dans la pratique sera souvent une par- tie deR, et même un intervalle. L’ensembleE =F^(I,K) des fonctions deI dansK, muni des lois usuelles d’addition et de multiplication par un scalaire est unK−espace vectoriel . On peut généraliser un peu en remarquant que siF est unK−espace vectoriel , alorsF^(I,F) est aussi unK−espace vectoriel .

Ï F^N L’ensembleF^Ndes suites à valeurs dans leK−espace vectorielF est unK−espace vectoriel . Ceci contient évidemment les suites réelles, le sujet d’étude séquentielle de prédilection de la première année que nous reprendrons en détail, mais aussi les suites de puissances de ma- trices, et les suites de fonctions qui est le gros morceau d’analyse de cette année. Par exemple, si on pose pour toutn ∈N, f_n ]0,+∞[ −→ R

x 7−→ x

1+nx

, la suite (f_n)_n∈N appartient à l’espace

vectorielF^N, oùF =F^(]0,+∞[,R).

ÏE×F Le produit cartésien de deuxKespaces vectorielsEetF, défini comme l’ensemble© (x,y)| x∈E,y∈Fª

. Les deux lois s’obtiennent ainsi : pour tout (x,y), (x⁰,y⁰)∈E×F,α∈K, α.(x,y)+(x⁰,y⁰)=¡

αx+x⁰,αy+y⁰¢ .

§ 2.

Familles génératrices, familles libres.—

Nous aurons à considérer des familles infinies. Or, les combinaisons linéaires sont toujours finies. Précisons cela.

Définition 1.1

SoitIun ensemble quelconque, fini ou infini,(λi)_i∈I une famille de scalaires indexée parI. On dit que cette famille estpresque nulle(ou à support fini) lorsqu’il existe un nombre fini dei dansI tels queλi6=0.

Définition 1.2 (Combinaison linéaire) SoientE unK−espace vectoriel .

1. Soitn∈N^∗, ete₁, . . . ,en des vecteurs deE. On appellecombinaison linéaire dela famille de vecteursF=(e₁, . . . ,e_n)tout vecteur qui s’écrit sous la forme X

1ÉiÉn

x_ie_i, oùx_i ∈K.

2. Soit(ei)i∈I une famille de vecteurs deE, éventuellement infinie. On appellecombinaison linéaire de cette famille tout vecteury∈Epour lequel il existe une famille presque nulle de scalaires(λi)_i∈I telle quey=X

i∈I

λie_i.

On note alors leur ensemble Vect(e_i, oùi ∈I) .

1. Vect(u)=K.u={λ.uoùλ∈K} est l’ensemble des vecteurs colinéaires àu.

2. Par définition, dansK[X], Vect(1,X, . . . ,Xⁿ)=Kn[X] et Vect(Xⁿ/n∈N)=K[X].

EXEMPLES:

Définition 1.3 (famille génératrice)

SoientE unK−espace vectoriel , etF=(e_i)_i∈I une partie deE.

On dit queF ^{est une}famille génératricedeElorsque pour toutx∈E, il existen∈N^∗,f1, . . . ,fn∈ F ^etα1, . . . ,αn∈Ktels quex=

n

X

k=1

αk.f_k. C’est équivalent à l’égalitéE=Vect(F^).

1. Montrer que

Vect









 1 0 0



,



 0 1 0



,



 0 0 1











=Vect









 1 0 0



,



 1 1 0



,



 1 1 1











=R³.

2. Montrer que, dansC⁰⁽R,R), Vect(exp,f)=Vect(cosh, sinh), oùf :x∈R7→e^−x∈R. EXEMPLES:

Définition 1.4 (Familles libres/liées)

La famille(e₁, . . . ,e_n)de vecteurs deEest ditelibrelorsque

∀x₁, . . . ,x_n∈K, si

n

X

i=1

x_ie_i=0,alorsx₁=. . .=x_n=0.

Une famille infinie de vecteurs est dite libre lorsque toute sous-famille de cardinal fini l’est.

Une famille est diteliéeou linéairement dépendante lorsqu’elle n’est pas libre.

Ainsi,E est libre si et seulement si la seule combinaison linéaire nulle de vecteurs deE est la combi- naison trivialement nulle.

D’autre part, six∈Eest une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille libre, le uplet de co- efficients apparaissant dans cette combinaison linéaire est unique puisque six=

n

X

k=1

αk.e_k=

n

X

k=1

βk.e_k, alors

n

X

k=1

(αk−βk).e_k=0_E si bien queαk=βkpour tout entierk∈[[1,n]].

EXEMPLES:

Ï Les lignes non nulles d’une matrice échelonnée.

Ï Une famille (e1, . . . ,ep) de vecteurs échelonnés de Rⁿ, ne contenant pas le vecteur nul. On dit qu’elle est échelonnée lorsque la fonction k : i ∈ [[1,p]] 7→ k_i ∈ N est strictement croissante, où k_i = max©

k∈[[1,n]] tels quee_i(k)6=0ª . Ï La base canonique deRⁿ.

Ï ¡

x7→cos 2x,x7→sin²,x7→4¢

n’est pas une famille libre deC⁰⁽R,R).

Voici une condition suffisante, et facile à vérifier, pour qu’une famille de polynômes soit libre : Proposition 1.5

Soit(P₁, . . . ,P_n)une famille de polynomes∈K[X]non nuls.

Si∀i,j∈[[1,n]],i 6=j ⇒degP_i6=degP_j, alors cette famille est libre.

Démonstration : On peut ordonner ces polynômes selon leurs degrés croissants et ainsi restreindre la preuve au cas où degP₁<degP₂< · · · <degPn. Effectuons alors une récurrence surn∈N^∗. L’initialisation pour n=1 vient du fait que siP16=0E, la famille (P1) est libre. Supposons le résultat vrai pour un entiern∈N^∗, et prenons (P1,P2, . . . ,Pn+1) une famille de polynomes∈K[X] non nuls vérifiant degP1<degP2< · · · <

degP_n+1. Soient doncα1, . . . ,αn+1∈Ktels que

n+1X

k=1

αk.Pk=0E. Le polynômeαn+1.P_n+1est de degré égal à celui deP_n+1siαn+1est non nul, alors que le polynôme−

n

X

k=1

αk.Pkest de degré au plus égal à celui dePn

(en vertu de deg

n

X

k=1

αk.PkÉ max

1ÉkÉndegPk=degPn) , donc ne peut être égal à degPn+1. On en déduit que αn+1est nul et que

n

X

k=1

αk.Pk=0E. La nullité deα1, . . . ,αndécoule alors de l’hypothèse de récurrence.

Une manière pratique de comprendre la liberté est la suivante :

(e₁, . . . ,ep) est liée⇐⇒l’un au moins desei est une combinaison linéaire des autres.

...

2

LES SOUS-ESPACES VECTORIELS

§ 1.

Definitions.—

La notion de sous-espace vectoriel va nous permettre de prouver à moindre frais qu’un ensembleF a une structure d’espace vectoriel, en remarquant qu’il est inclus dans un des espaces vectoriels précédents, et qu’il est stable par les deux lois.

Définition 2.1 (Sous-espace vectoriel)

Soit(E,+, .)unK−espace vectoriel , et soitF ⊂E.

F est unsous espace vectoriel deElorsque, muni des deux lois+et.qui existent dansE, il est lui aussi un espace vectoriel.

Nous utiliserons donc plutôt :

Proposition 2.2 (Une caractérisation des sous-espaces vectoriels) SoitEunK−espace vectoriel etF⊂E. Alors

F est un sous-espace vectoriel deE⇐⇒

(0_E∈F.

∀x,y∈F,∀α∈K,α.x+y∈F. .

Autrement dit, une partie deE est un sous-espace vectoriel précisément lorqu’elle contient 0_E et qu’elle est stable par combinaison linéaire.

Ï {0_E} etEsont des sous-espaces vectoriels deEditstriviaux.

Ï SoitIun intervalle deR. Pour toutk∈N,

C^k(I,R) est un sous-espace vectoriel deF^(I,R)

car la fonction nulle est de classeC^k, et toute combinaison linéaire de fonctionsC^kl’est aussi.

Ï L’ensembleSn(R) des matrices symétriques réelles, i.e qui vérifientM=^tM.

Ï L’ensemble des suites (u_n)_n∈Rⁿsolutions deu_n+2=3u_n+1+5u_n, EXEMPLES:

Donnons l’exemple fondamental du sous-espace vectoriel deEengendré par une famille : Proposition 2.3 (sous-espace vectoriel engendré par une partie)

SoientEunK−espace vectoriel etAune partie non vide deE. Ï Vect(A)est un sous-espace vectoriel deE.

Ï SiF est un sous-espace vectoriel deEcontenantA, alorsVect(A)⊂F.

Démonstration : Ï Soientx,y∈VectA. Il existe alorsn,m∈N^∗,a1, . . . ,an,b1, . . . ,bm∈Aetα1, . . . ,αn,β1, . . . ,βm∈ Ktels quex=

n

X

k=1

αka_kety=

m

X

k=1

βk.b_k. Alors pour tout scalaireλ,λ.x+y=

n

X

k=1

(λ×αk)a_k+

m

X

k=1

βk.b_k est bien un élément de VectA.

De plus, le vecteur nul est bien un élément de VectA puisque A étant non vde, il existea ∈ A, et 0E=0_K.a∈Vect(A).

Ï C’est une simple conséquence du fait qu’un sous-espace vectoriel deEest stable par combinaisons linéaires .

Cette proposition justifie pourquoi l’ensemble Vect(F) est appelésous-espace vectoriel engen- dré par la familleF. En effet, Vect(A) est inclus dans l’intersection \

Fsev deE A⊂F

F de tous les sous-espaces vectoriels deEcontenantAd’après le deuxième item et contient cette intersection d’après le premier item. Il lui est donc égal, ce qui en fait le plus petit (au sens de⊂) de tous les sous-espace vectoriel de EcontenantA.

Vect(A)= \

Fsev deE A⊂F

F.

Rappelons trois opérations élémentaires que l’on peut effectuer sur une famille de vecteursF = (e₁. . . ,en) :











e_i←→e_j , ∀i6=j∈[[1,n]].

e_i←−e_i+ce_j , ∀c∈K,∀i6=j∈[[1,n]].

e_i←−c.e_i , ∀c∈K^∗,∀i∈[[1,n]].

Propriétés 2.4 (Stabilité de Vect par les opérations élémentaires) Soient(e₁, . . . ,e_n)une famille de vecteurs d’unK-evE. Alors

1. Vect(e1, . . . ,en)est conservé par toute opération élémentaire sur la famille(e1, . . . ,en).

2. Quels que soientc1, . . . ,cn−1∈K,

Vect(e₁, . . . ,e_n−1,e_n)=Vect Ã

e₁, . . . ,e_n−1,e_n+

n−1X

i=1

c_i.e_i

! .

3. e_n∈Vect (e₁, . . . ,e_n−1)⇐⇒Vect(e₁, . . . ,e_n−1,e_n)=Vect (e₁, . . . ,e_n−1) .

Démonstration : 1. Pour la première opération élémentaire, c’est une conséquence de la commuta- tivité de l’addition dansE. Pour la deuxième, notonsF =Vect(e₁,e₂, . . . ,en), etF⁰ =Vect(e₁+ ce2,e2, . . . ,en). Puisque tous les vecteurs deF⁰sont des combinaisons linéaires de vecteurs deF, i.e appartiennent à VectF et que VectF est un sous-espace vectoriel deE, VectF⁰⊂VectF ^(on a appliqué ici le deuxième point de la proposition 2.3). L’autre inclusion s’obtient par le même argument, en remarquant quee1=1.¡

e1+c.e2¢

+(−c).e2∈VectF⁰. 2. C’est une conséquence de ce qui précède, puisque le vecteure_n+

n−1X

i=1

c_i.e_is’obtient en faisantn−1 opérations élémentaires (du deuxième type) successives à la familleF^.

3. NotonsFn−1=(e1, . . . ,en−1) etFn=(e1, . . . ,en−1,en). PuisqueFn−1⊂Fn, VectFn−1⊂VectFn.

⇐ : Si VectFn=VectFn−1, alorsen∈Fn⊂Vect(Fn)=Vect(Fn−1).

⇒ : Sien∈VectFn−1, toute la familleFnappartient au sous-espace vectoriel VectFn−1, et donc VectFn⊂VectFn−1. C’était l’inclusion qui nous manquait.

§ 2.

Les sytèmes linéaires.—

Revenons aux systèmes linéaires non homogènes en donnant une interprétation de leur consistance en terme de combinaisons linéaires :

Proposition 2.5

Soit A∈Mm,n(R), etC₁, . . . ,C_n∈R^m ses colonnes. SoitB∈R^m. Le système linéaire AX =B admet au moins une solutionX ∈Rⁿsi et seulement siB∈Vect(C1, ...Cn).

Démonstration : SoientX=





 x1

... x_n





∈Rⁿ,B=





 b1

... b_m





etCj=





 a1j

... a_{m j}





et ∈R^m, ∀j∈[[1,m]].

Le système linéaireAX=Bpeut s’écrire sous la forme

x1





 a11

... am1





+. . .+xn





 a1n

... amn





=





 b1

... bm





,

ou plus simplementx1C1+. . .xnCn=B. On voit ainsi que l’existence d’une solutionXest équivalente à l’expression deBcomme combinaison linéaire de la famille (C1, . . . ,Cn).

§ 3.

Deux opérations sur les sous-espaces vectoriels .—

La notion délicate de somme de sous- espaces vectoriels F et G de E est souvent confondue -grave erreur- avec la réunion de ces sous- espaces vectoriels . Il est beaucoup plus courant d’appartenir àF+G qu’à F∪G. Retenir queF +G est le sous-espace vectoriel deE engendré parF∪G qui lui n’est que très rarement un sous-espace vectoriel deE.

Définition 2.6 (Somme de sous-espaces vectoriels)

SoitE unK−espace vectoriel ,n∈Nsupérieur à2, etF₁,F₂, . . . ,F_ndes sous-espaces vectoriels de E. On note

F₁+F₂={x+y,oùx∈F₁,y∈F₂}.

De même, on note

F₁+F₂+ · · · +Fn={x₁+ · · · +xn, où pour touti∈[[1,n]],xi∈F₂}.

Proposition 2.7 (Stabilité par+et∩)

SoitE unK−espace vectoriel ,n∈Nsupérieur à2, etF₁, . . . ,Fn des sous-espaces vectoriels deE. Alors

n

\

i=1

FietF1+ · · · +Fnsont des sous-espaces vectoriels deE.

Par ailleurs, une intersection d’un nombre quelconque de sous-espaces vectoriels deE est encore un sous-espace vectoriel deE.

Parmi tous les sous-espaces vectoriels deE,F₁+F₂se caractérise comme étant le plus petit au sens de l’inclusion contenant à la foisF₁etF₂, i.e :

Proposition 2.8

SoitE unK−espace vectoriel etF₁,F₂des sous-espaces vectoriels deE. Alors, F₁+F₂=Vect(F₁∪F₂).

B Montrer que Vect



 1 1 1



+









 0 y z



|y,z∈R







=R³.

B L’espace vectoriel des fonctionsF⁽R,R) est la somme de ses deux sous-espaces vectorielsI etP, oùP est l’espace vectoriel des fonctions paires etIcelui des fonctions impaires.

B Mn(R)=Sn+An. EXEMPLES:

Propriétés 2.9 (des lois∩,+sur les sous-espaces vectoriels)

SoitEunK−espace vectoriel etF₁,F₂,F₃trois sous-espaces vectoriels deE. Alors B ^F2+F₁=F₁+F₂.

B ^F1∩F₂⊂F₁⊂F₁+F₂. B ^F1⊂F₂⇐⇒F₁+F₂=F₂.

B ^F1+{0_E}=F₁etF₁+E=E. B ^¡F1+F₂¢

+F₃=F₁+¡

F₂+F₃¢ .

Voyons un exemple incontournable de sous-espaces vectoriels deKⁿ, celui des systèmes linéaires.

Proposition 2.10 (Structure de Sol d’un système homogène linéaire surKⁿ)

L’ensemble de solutions d’un système linéaire homogène surKàn inconnues etp équations est un sous-espace vectoriel deKⁿ.

Démonstration : Commençons par le casp=1. Soientn∈N^∗. Fixonsa1, . . . ,annscalaires. L’ensemble

F=











 x1

... x_n





, tels que

n

X

i=1

aixi=0







(1)

des solutions d’une équation linéaire homogène est un sous-espace vectoriel deRⁿcar : 1.





 0

... 0





∈Fcar

n

X

i=1

ai×0=0.

2. Soient





 x1

... xn





et





 x⁰₁

... x⁰_n





∈F, etα,β∈R. Alorsα.





 x1

... xn





+β.





 x₁⁰

... x⁰_n





=







αx1+βx⁰₁ ... αxn+βx⁰_n





∈F, car

n

X

i=1

ai¡ αxi+ βx_i⁰¢

=αXⁿ

i=1

aixi+βXⁿ

i=1

aix_i⁰=0.

Quant aux systèmes linéaires àpÊ2 équations, leur ensemble de solutions est une intersection de pensembles du type 1. Or, nous avons vu qu’une intersection de sous-espaces vectoriels deEest un sous-espace vectoriel deE.

§ 4.

Somme directe et supplémentaires.—

Nous savons que pour tout vecteurxdeF+G, il existe un couple (y,z)∈F×Gtel quex=y+z. Nous allons nous pencher sur les cas où ce couple est unique.

Définition 2.11 (Somme directe de p sous-espaces vectoriels)

SoitE₁, . . . ,E_p une famille finie de sous-espaces vectoriels deE, et H =E₁+ · · · +E_p. On dit que ces sous-espaces vectoriels sont en somme directe lorsque pour tout h ∈H, il existe un unique (e1,e2, . . . ,ep)∈E1× · · · ×Ep tel queh=

p

X

k=1

e_k.Hse note alors

p

M

i=1

Ei.

Cela signifie que tout vecteur deH se décompose de manière unique comme une somme de vec- teurs deE_i. C’est une notion très importante, car elle seule permet de parler, pour tout vecteuru∈H, de sai−ème composante dans la décomposition dansH=E₁+ · · · +E_p.

Proposition 2.12

On a équivalence entre : (i)

p

X

i=1

E_i =

p

M

i=1

E_i, et

(ii) Pour tout(u₁, . . . ,u_p)∈E₁× · · · ×E_p, si

p

X

i=1

u_i=0E, alors tous lesu_i sont égaux à0E.

Démonstration : (i)⇒(ii) Si

p

X

i=1

Ei =

p

M

i=1

Ei, le vecteur nul, en tant que vecteur de la somme

p

X

i=1

Ei, se dé- compose de manière unique en une somme de vecteurs desE_i. Mais puisque on a déjà la décompo- sition évidente 0E

|{z}

∈E₁

+ · · · + 0E

|{z}

∈E_p

=0E, si (u1, . . . ,up)∈E1× · · · ×Ep vérifie

p

X

i=1

ui =0E, alors tous lesui

sont égaux à 0E.

(ii)⇒(i) On suppose que (ii) est vérifié et on prend un vecteurx∈

p

X

i=1

Ei. Suppsons de plus que l’on dispose de deux décompositions de x : x =

p

X

i=1

ui =

p

X

i=1

vi où pour touti ∈[[1,p]],ui et vi ∈Ei. Alors

p

X

i=1

(ui−vi)=0E nous fournit une décomposition de 0E en une somme de vecteurs desEi. Par hypothèse,ui=vipour touti∈[[1,p]], ce qui prouve l’unicité recherchée.

A noter que dans le casn=2, cette définition se simplifie :

F₁etF₂sont en somme directe⇐⇒F₁∩F₂={0_E}.

Définition 2.13

Deux sous-espaces vectoriels deE sont ditssupplémentairesdansElorsqueE=F+GetF∩G= {0_E}, ce que l’on noteE=F⊕G.

En termes de décomposition, cela donne : E=F⊕G⇐⇒

³

∀z∈E,∃un unique couple (x,y)∈F×Gtel quez=x+y´ .

On aura compris ici que l’égalitéF+G=E est équivalente à l’existence du couple, alors que celle- ci acquise, l’unicité du couple est équivalente au caractère direct de cette somme. Plus généralement, pour plusieurs sous-espaces vectoriels ,

Proposition 2.14

SoitE unK−espace vectoriel ,nÊ2etF₁, . . . ,F_n des sous-espaces vectoriels deE. On a l’équiva- lence entre les deux assertions suivantes :

1. E=F₁⊕ · · · ⊕Fn.

2. Pour tout vecteurx∈E, il existe un unique(x₁, . . . ,x_p)∈E₁× · · · ×E_p tel quex=

p

X

k=1

x_k.

Définition 2.15 (hyperplans)

SoitEunK−espace vectoriel . SoitHun sous-espace vectoriel deE. On dit queHest unhyperplan deE lorsque

∃x₀6=0_E∈Etel queE=H⊕Vect(x₀).

B On se convaint facilement que siHest un hyperplan, pour tout vecteurx n’appartenant pas àH, la droite Vect(x₀) est un supplémentaire deH.

B ^Soitx0∈R. L’ensembleHdes fonctions s’annulant enx₀est un hyperplan deF⁽R,R).

REMARQUES:

...

3

ESPACES VECTORIELS FINIMENT ENGENDRÉS

§ 1.

Dimension.—

Une question qui se pose est celle de minimalité d’une familleF génératrice de E. Autrement dit, existe-t-il une sous-famille deF qui soit encore génératrice deE? Nous allons voir que ceci est équivalent à sa liberté.

Notons les comportements de la liberté et de la génération par rapport à la relation d’inclusion : SoientF ^etE deux familles de vecteurs, on dit queF est une sous-famille deE^{, ou que}E ^{est une} sur-famille deF ^lorsqueF ⊂E. Dans ce cas,

B ^SiF est génératrice deE, alorsE est génératrice deE.

B ^SiE est libre, alorsF ^{est libre.}

Définition 3.1 (Base et espace vectoriel finiment engendré) On appellebase deEtoute famille libre et génératrice deE.

Un espace vectoriel est ditfiniment engendrélorsqu’il possède une famille génératrice de cardinal fini.

Par exemple,Rn[X] est finiment engendré, car il l’est par la base canonique, maisR[X] ne l’est pas car les degrés des polynômes de cet espace vectoriel ne sont pas bornés. Après le théorème suivant, nous remplacerons “finiment engendré” par “de dimension finie”.

Les bases ont un intérêt essentiel en ce qu’elles founissent une bijection entreE etRⁿ: Théorème 3.2 (Coordonnées dans une base)

SoitB=(e₁, . . . ,e_n)une base deE. Alors

∀X ∈E,∃!(x₁, . . . ,x_n)∈Kⁿtel queX =x₁.e₁+. . .x_n.e_n. (x₁, . . . ,x_n)est appellésystème de coordonnéesdeX dans la baseB^.

Démonstration : L’existence dun−uplet est exactement la définition du caractère générateur de la famille.

Montrons qu’il est unique en prenant deuxn−uplets (x1, . . . ,xn) et (x⁰₁, . . . ,x_n⁰) tels queX=x1.e1+. . .xn.en= x⁰₁.e1+. . .x⁰_n.en. En soustrayant la deuxième égalité à la première, (x1−x⁰₁).e1+. . . (xn−x_n⁰).en=0E, si bien que la liberté deBimplique l’égalité des deuxn−uplets.

1. Tout vecteur deRⁿest égal au vecteur de ses coordonnées dans la base canonique.

2. Les coordonnées d’un polynôme dans la base canonique sont appelés coefficients du polynôme.

3. Calculer les coordonnées d’un vecteur deRⁿ dans la base (u₁, . . . ,u_n) oùu_i a sesi premières composantes égales à 1 et les autres nulles.

EXEMPLES:

Lemme 3.3 (de l’échange)

Soient(e₁, . . . ,e_p)une famille libre deEet(f₁, . . . ,f_q)une famille génératrice deE. AlorspÉq. La preuve de ce lemme indispensable est très technique, je vous renvoie au cours de MPSI.

Théorème 3.4 (Existence de bases)

SoitEunK−espace vectoriel finiment engendré. Alors, 1. Epossède une base.

2. Toutes les bases deEont même cardinal. On appelle leur cardinal commundimension deE. Démonstration : 1. Notons

Ω = ©

FamillesFfinies génératrices deEª , A = ©

Card (F^{) où}F^parcourtΩª .

PuisqueEest finiment engendré,Ωest non vide, etAest alors une partie non vide deN. Elle admet donc un minorant, i.e il existeF0∈Ωtelle que∀F∈Ω, CardFÊ CardF0. Montrons queF0est une base deE.

Elle est déjà génératrice deEen tant qu’élément deΩ.

Soite∈F0, et ˜F0la famille obtenue en enlevante àF0. ˜F0 n’est pas génératrice deE car son cardinal est<CardF0. Donc Vect ˜F06=VectF, si bien qu’aucun des vecteurs deF0n’est combi- naison linéaire des autres vecteurs deF0. D’après le 3ème point de la proposition 2.4,F0est une famille libre deE.

2. C’est une conséquence immédiate du lemme de l’échange.

B Kest unK−espace vectoriel de dimension 1.

B Kⁿest unK−espace vectoriel de dimensionn. On appelle base canonique deKⁿla famille

B0=

























 1 0 ... 0











 ,











 0 1 ... 0











 , . . . ,











 0 0 ... 1



























B ∀n,p∈N^∗,Mn,p(K) est unK−espace vectoriel de dimensionn×p. On appelle base canonique de cet espace vectoriel la famille de matrices¡

E_i,j¢

pour (i,j)∈[[1,n]]×[[1,p]], oùE_i,j∈Mn,p(K) a tous ses coefficients nuls, sauf celui situé sur lai−ème ligne et laj−ème colonne, qui vaut 1.

B ∀n∈N,Kn[X] est unK−espace vectoriel de dimensionn+1. Sa base canonique estB0=(1,X,X², . . . ,Xⁿ).

B ^{SiEetFsont deux}K−espace vectoriel de dimension finie, alorsE×Fest unK−espace vectoriel de dimension dimE+dimF.

EXEMPLES:

ToutC−espace vectorielEde dimensionnest unR−espace vectoriel de dim 2n. En effet, si (e₁, . . . ,e_n) est une base duC−espace vectorielE, alors (e₁,i.e₁,e₂,i.e₂, . . . ,e_n,i.e_n) est une base duR−espace vectorielE.

REMARQUES:

La dimensionnd’unK−espace vectoriel apparaît donc comme le cardinal de toute base deE. Le cardinal égal àncorrespond aussi à un seuil :

Théorème 3.5

SoitE unK−ev de dimensionnÊ1etF une famille de vecteurs deE. Alors 1. SiF est génératrice deE, alors CardFÊn.

2. SiF est libre, alors CardFÉn.

3. F est une base si et seulement si elle est libre et de cardinaln.

4. F est une base si et seulement si elle est génératrice deEet de cardinaln.

Démonstration : 1. C’est une conséquence du lemme de l’échange.

2. C’est une conséquence du lemme de l’échange.

3. Le sens direct est évident. Supposons donc queF =(e1, . . . ,en) soit à la fois de cardinalnet libre.

Soite∈E. La familleF∪{e} est de cardinaln+1 dans un espace vectoriel de dimensionn. Elle est donc liée, i.e qu’il existex1, . . . ,xn∈K,x∈Knon tous nuls tels que

n

X

k=1

xk.ek+x.e=0E. Puisque F ^{est libre,x}ne peut être nul. En divisant cette égalité parxon voit alors queeest combinaison linéaire des vecteurs de la baseF, et ce pour toute∈E. Ainsi,Fest aussi génératrice deE. 4. Le sens direct est évident. Supposons donc queF=(e₁, . . . ,e_n) soit génératrice et de cardinaln. La

familleFkobtenue en ôtantekàFest une famille de cardinaln−1 et ne peut donc être génératrice deEd’après le premier item de cette proposition. Ainsi,E=Vect(e1, . . . ,en)6=Vect(e1, . . . ,ek−1,ek+1, . . . ,en), ce qui implique quee_k n’est pas une combinaison linéaire des autres vecteurs d’après le dernier point de la proposition 2.4. On a donc montré qu’aucun des vecteurs de la familleF n’est une combinaison linéaire des autres vecteurs de cette famille, et on sait que ceci caractérise les familles libres.

Théorème 3.6 (2 théorèmes en un)

SoitEunK−espace vectoriel etF une famille finie de vecteurs deE.

Ï Théorème de la base incomplète: SiF est une famille libre deE, il existe une surfamille de F qui est une base deE.

Ï Théorème de la base extraite : SiF est une famille génératrice de E, il existe une sous- famille deF qui est une base deE.

Démonstration du TBI : NotonsΩ =©

FamillesF libres deEcontenantei, ∀1ÉiÉpª

et A l’ensemble des cardinaux de ces familles. A est une partie non vide deN, car contenantp, et majorée parn. Elle possède donc un maximumÉn, et toute la question est de prouver que ce maximum estn, puisqu’une famille libre de cardinalnest une base. Notons doncF0∈Ωtelle quen=CardF0. SiF0n’est pas de car- dinaln, elle est libre et non génératrice, donc en lui ajoutant un vecteur qui n’appartient pas à VectF0, on obtient une famille deΩde cardinal>à celui deF0. Absurde.

On peut traduire la liberté d’une famille avec le seule notion de rang : Proposition 3.7 (Rang d’une famille de vecteurs)

Pour toute famille(e₁, . . . ,e_p)de vecteurs deE, on appelle

Rang(e₁, . . . ,e_p)=dim Vect(e₁, . . . ,e_p) . On a alors

1. Rang(e₁, . . . ,e_p)Ép.

2. Rang(e₁, . . . ,e_p)=p⇐⇒(e₁, . . .e_p)est libre.

Démonstration : NotonsF=Vect(e₁, . . . ,ep).

1. (e₁, . . . ,e_p) est une famille génératrice deF, donc de cardinal supérieur ou égal à la dimension de cet espace vectoriel .

2. Si (e1, . . . ,ep) est libre, elle forme une famille libre et génératrice deF, donc son cardinal coïncide avec la dimension de cet espace. Réciproquement, si (e1, . . . ,ep) est de rangp, la famille (e1, . . . ,ep) est génératrice deF et son cardinal est égal à dimF, donc c’en est une base d’après le théorème 3.5.

§ 2.

Dimension et sous-espace vectoriel .—

Fort heureusement, notre définition de la dimen- sion respecte le minimum de ce que l’on en attendait, à savoir la croissance sur l’ensemble des sous- espaces vectoriels :

Théorème 3.8 (Croissance de la dimension)

Soitn∈N^∗etEunK−ev de dimensionn. Alors, pour tout sous-espace vectorielF deE: 1. F est de dimension finie etdimF Én.

2. dimF =n⇐⇒F =E.

Démonstration : 1. En considérant à nouveau l’ensemble des familles libres deF, on montre qu’il en existe une de cardinal maximal, et que celle-ci est génératrice deF. D’où le fait queF soit de di- mension finie. Cette famille est de cardinal dimFet est libre dansE, donc de cardinal inférieur ou égal à la dimension deE.

2. Si dimF=n, toute base deF est une famille libre deE àn=dimEéléments, c’est donc une base deEd’après le troisième point du théorème 3.5.

Tout sous-espace vectoriel deR³est soit {0_R3}, soitE, soit une droite vectorielle, soit un plan vectoriel. Nous avions déjà prouvé que ces quatre types de parties deR³étaient des sous-espaces vectoriels . Ce sont les seuls car tout sous- espace vectoriel deR³a pour dimension 0, 1, 2 ou 3.

EXEMPLES:

Théorème 3.9

Ï Il existe un sous-espace vectorielGdeEvérifiantF⊕G=E, i.e un supplémentaire deF dans E.

Ï Pour tout supplémentaireGdeF dansE,dimF+dimG=dimE.

Démonstration : Ï En tant qu’espace vectoriel de dimension finie,F admet une base (e₁, . . . ,ep). Cette base est une famille libre de vecteurs deE, donc peut se compléter en une baseB=(e1, . . . ,ep,e_p+1, . . . ,en) deE. Posons alorsG=Vect(ep+1, . . . ,en). Je vous laisse prouver que la liberté deB^entraineF∩G= {0E} et que son caractère générateur deEimpliqueF+G=E.

Ï Soit (f1, . . . ,fq) une base deG. Nous allons montrer que (e1, . . . ,ep,f1, . . . ,fq) forme une base deE si bien que le cardinalp+q=dimF+dimGde cette famille sera égal à la dimension deE.

D’une part, pour toutx∈E=F+G, il existey∈F,z∈Gtels quex=y+z. Comme (f1, . . . ,fq) engendre G, il existez₁, . . . ,z_q∈Ktels quez=

q

X

k=1

z_k.f_k. De même, il existey₁, . . . ,y_p∈Ktels quey=

p

X

k=1

y_k.e_k. Ainsi,x=

p

X

k=1

y_k.e_k+

q

X

k=1

z_k.f_k et tout vecteurxdeEs’écrit bien comme une combinaison linéaire de vecteurs de la famille (e1, . . . ,ep,f1, . . . ,fq).

D’autre part, soit

p

X

k=1

y_k.e_k+

q

X

k=1

z_k.f_k =0E une combinaison linéaire nulle de ces p+q vecteurs.

Alors,

p

X

k=1

yk.ek

| {z }

∈F

=

q

X

k=1

(−zk).fk

| {z }

∈G

appartient àF∩G={0E}. On en déduit que

p

X

k=1

yk.ek =

q

X

k=1

zk.fk=0E

et la liberté des deux familles (f₁, . . . ,f_q) et (e₁, . . . ,e_p) nous fournit la nullité dey₁, . . . ,y_p,z₁, . . . ,z_q, c’est-à-dire la liberté de (e1, . . . ,ep,f1, . . . ,fq).

Proposition 3.10 (Formule de Grassmann)

SoitEunK−espace vectoriel etF₁,F₂deux sous-espaces vectoriels deE. Alors dim¡

F₁+F₂¢

=dimF₁+dimF₂−dim¡

F₁∩F₂¢ .

Démonstration : Notonsr=dimF₁∩F₂,p₁=dimF₁,p₂=dimF₂. Soit (e₁, . . . ,e_r) une base deF₁∩F₂. C’est une famille libre deF1et deF2. D’après le théorème de la base incomplète, il existe donc (fr+1, . . . ,fp1) tel que (e1, . . . ,er,fr+1, . . . ,fp₁) soit une base deF1, et (gr+1, . . . ,gp₂) tel que (e1, . . . ,er,gr+1, . . . ,gp₂) soit une base deF₂. Si on prouve queE =(e₁, . . . ,e_r,f_r+1, . . . ,f_p1,g_r+1, . . . ,g_p2) est une base deF₁+F₂, on aura bien dim(F1+F2)=p1+p2−r =dimF1+dimF2−dimF1∩F2.

Liberté deE : Soient doncx1, . . . ,xr,y_r+1, . . . ,yp1,z_r+1, . . . ,zp2 ∈Ktels que

r

X

k=1

xk.ek+

p₁

X

k=r+1

yk.fk+

p2

X

k=r+1

z_k.g_k =0E. Alors,

r

X

k=1

x_k.e_k+

p1

X

k=r+1

y_k.f_k

| {z }

∈F1

=

p2

X

k=r+1

(−z_k).g_k

| {z }

∈F2

appartient à F1∩F2, mais il appartient

aussi à Vect(gr+1, . . . ,gp₂) qui est en somme directe avecF₁∩F₂(c’en est un supplémentaire dansF₂).

C’est donc le vecteur nul, i.e

r

X

k=1

x_k.e_k+

p1

X

k=r+1

y_k.f_k =

p2

X

k=r+1

(−z_k).g_k =0E. On en déduit facilement la nullité de tous ces scalaires puisque (g_r+1, . . . ,gp2) est libre, de même que (e1, . . . ,er,f_r+1, . . . ,fp1).

E engendreF1+F2:Enfin,F1+F2=Vect(e1, . . . ,er,f_r+1, . . . ,fp1)+(e1, . . . ,er,g_r+1, . . . ,gp2) est aussi égal à Vect(e1, . . . ,er,fr+1, . . . ,fp1,gr+1, . . . ,gp2)=VectE^.

Il existe une formule (par ailleurs assez intéressante) qui généralise ceci à la somme depÊ2 sous- espaces vectoriels deE, mais elle n’est pas au programme.