En d´eduire que f est born´ee surR+

Universit´e de Lille M1 Math´ematiques

Examen du 6 janvier 2020 dur´ee 3h

Exercice 1

Soitf :R⁺→Rune fonction continue. On suppose que pour toutx≥0, la suite (f(kx))_k est born´ee.

1. PourN ∈N, on poseF_N :={x≥0| ∀k∈N, |f(kx)| ≤N}. V´erifier queFN est ferm´e dansR⁺ et que S

NFN =R⁺. 2. Montrer qu’il existeN₀ ∈N et 0< a < btels que

∀x∈]a;b[, ∀k∈N, |f(kx)| ≤N₀ 3. En d´eduire que f est born´ee surR⁺.

Exercice 2

Soita >0 fix´e. Pourx∈R, on d´efinit g(x) = _x2+a^{1 2} eth(x) = ^π_ae^−a|x|. 1. Montrer queg∈L¹(R) et quebg(x) :=R+∞

−∞ g(t)e^−ixtdt=h(x).

2. V´erifier que g induit une distribution temp´er´ee, not´ee Tg. Calculer (x²+a²)·T_g.

3. On consid`ere l’´equation (E) : u<sup>00</sup>−a<sup>2</sup>u = δ dans S<sup>0</sup>(R), o`u δ est la distribution de Dirac en 0.

(a) Montrer que T ∈ S⁰(R) est solution de (E) si et seulement si (x²+a²)·Tb=−1 au sens des distributions.

(b) En d´eduire les solutions de (E).

4. Soitf :R→Rune fonction continue et born´ee sur R.

(a) Montrer que la fonctionh∗f est bien d´efinie sur R, de classeC², et qu’elle est solution de l’´equation u⁰⁰−a²u=−2πf.

(b) Montrer que si f ∈ S(R), alors h∗f ∈ S(R).

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Exercice 3

Soit (H,k · k) un espace de Hilbert s´eparable de dimension infinie et (en)n∈N

une base hilbertienne de H. On note h·|·i le produit scalaire hermitien (lin´eaire par rapport `a la seconde variable).

1. Soit (ε_k)k∈N une autre base hilbertienne deH, etT ∈ L_c(H).

(a) Montrer que pour tout n,kT(e_n)k² =P+∞

k=0|hε_k|T(e_n)i|². (b) Montrer queP+∞

n=0kT(e_n)k² =P+∞

k=0kT^∗(ε_k)k² ≤+∞.

(c) En d´eduire que P+∞

n=0kT(e_n)k² =P+∞

k=0kT(ε_k)k². 2. On noteHS(H) :=

(

T ∈ L_c(H) |

+∞

X

n=0

kT(e_n)k² <+∞

)

l’ensemble des op´erateurs de Hilbert-Schmidt, et pour T ∈ HS(H) on pose kTk_HS :=

q P+∞

n=0kT(en)k². D’apr`es la question 1., ces d´efinitions sont ind´ependantes du choix de la base hilbertienne (en).

(a) Exhiber un ´el´ement deL_c(H) qui n’est pas un op´erateur de Hilbert- Schmidt.

(b) Soit T ∈ L_c(H) tel que ImT est de dimension 1. Montrer T est un op´erateur de Hilbert-Schmidt (on pourra construire `a partir de (KerT)^⊥ une base hilbertienne adapt´ee).

3. On prend iciH =L²(R) ethf|gi=R

Rf(x)g(x) dx. On noterah·|·i₂le produit hermitien surL²(R²) : hF|Gi₂=R R

R²F(x, y)G(x, y) dxdy.

Pour toutK ∈L²(R²), on pose

∀f ∈L²(R), ∀x∈R, T_K(f)(x) = Z

R

K(x, y)f(y) dy

(a) Montrer que cette d´efinition a bien un sens et que T_K ∈ L_c(H) pour toutK ∈L²(R²).

(b) Pour n, p ∈ N, on pose ∀x, y ∈ R, en,p(x, y) = en(x)ep(y). Pour K ∈ L²(R²), exprimer he_n,p|Ki₂ en fonction de TK. En d´eduire que (e_n,p)_(n,p)∈N² est une base hilbertienne de L²(R²).

(c) En calculant kKk_L2(R²), montrer que T_K est un op´erateur de Hilbert-Schmidt. En d´eduire que l’application

φ: L²(R²) → HS(H)

K 7→ T_K

est une isom´etrie.

(d) Montrer que φest surjective (rechercher un ant´ec´edent deT sous la formeK =P

n,phe_n|T(ep)ien,p).

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