02-05-2006 Terminale ES 2 M.WEISLINGER
DEVOIR SURVEILL ´E N°8
L’utilisation d’une calculatrice est autoris´ee. La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
EXERCICE N°I :(5,5 points)
Soitf la fonction d´efinie et d´erivable surRpar :f(x) = ex 1 +ex. 1. Calculerf(ln 3) etf(−ln 2) .Montrer quef(−1) = 1
1 +e et en donner une valeur approch´ee par exc`es `a 0,001 pr´es . 2. R´esoudref(x) =1
2.( On pourra poserX =ex.) 3. Montrer quef(x) = 1
1 +e−x pour toutx∈Rpuis ´etudier les limites def en−∞. et +∞. 4. Calculerf′(x) pour toutx∈Rpuis en d´eduire les variations def surR.
5. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative def ainsi que les asymptotes ´eventuelles.
EXERCICE N°II :(8,5 points) PARTIE A
La courbe ci-contre Cf est la repr´esentation gra- phique d’une fonction f d´efinie, continue et d´eri- vable sur
−∞; 5 2
.
On notef′sa fonction d´eriv´ee . On pr´ecise :
• lim
x→−∞f(x) = 0
• f(1) =e.
• La tangente `a la courbe au point A(2 ; 0) passe par le point B 1 ; e2
.
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6 Cf
A exp(2) B
Pour chacune des huit affirmations, pr´ecisez sur votre copie si elle est vraie ou fausse (aucune justification n’est demand´ee et il n’est pas n´ecessaire de recopier l’´enonc´e).
Affirmation 1 Affirmation 5
Pour toutx∈]− ∞; 2], f′(x)>0. La courbe repr´esentative de la fonctionef pr´esente une asymptote horizontale d’´equationy= 1 en−∞.
Affirmation 2 Affirmation 6
Le nombre d´eriv´e en 2 de la fonctionf est ´egal `a e2. La fonction lnfest d´efinie sur ]− ∞; 52].
Affirmation 3 Affirmation 7
La fonctionef est croissante sur ]− ∞; 1]. exp(f(2)) = 0
Affirmation 4 Affirmation 8
x→−∞lim ef(x)= 0 ln(f(1)) = 1
PARTIE B
On admet que la fonction f de la partie A est d´efinie parf(x) = (ax+b)exo`uaetbsont des constantes r´eelles.
1. Calculerf′(x).
2. Par lecture graphique d´eterminerf(0) puis en d´eduire la valeur deb.
3. Par lecture graphique d´eterminerf′(1) puis en d´eduire la valeur dea.
PARTIE C
On suppose quef(x) = (2−x)ex pour toutx∈R 1. Etudier les limites def aux bornes .
2. Etudier les variations def surR.
EXERCICE N°III :(6 points)
Soitf la fonction d´efinie pour toutx´el´ement deRparf(x) = 30e−5x. Soitgla fonction d´efinie pour toutx´el´ement deRparg(x) = e5x+ 1.
On admet quef etgsont d´erivables surR.
1. D´emontrer que la fonctionf est strictement d´ecroissante surR. 2. D´emontrer que la fonctiongest strictement croissante surR.
3. Tracer sur la copie dans un mˆeme rep`ere orthogonal les repr´esentations graphiques des fonctionsf etgsur l’intervalle [0 ; 0,5] (on prendra 20 cm pour 1 unit´e sur l’axe des abscisses et 0,5 cm pour 1 unit´e sur l’axe des ordonn´ees).
4. Le but de cette question est de r´esoudre dansRl’´equationf(x) =g(x) not´ee (E) : (a) Montrer que (E) s’´ecrit aussi : e5x
2
+ e5x
−30 = 0.
(b) R´esoudre dansRl’´equation :X2+X−30 = 0.
(c) En d´eduire que ln 5
5 est l’unique solution de l’´equation (E).
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