2 Calculs – Un tour d’horizon en fin d’année
Sauf mention explicite du contraire,
la calculatrice est interdite
Les numéros pour la boite à calculs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 11 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151
Calculer sur les exposants
1. Donner l’écriture scientifique de 789,5 × 106 2. Donner l’écriture scientifique de 789,5 × 10−6 3. Donner l’écriture scientifique de 0,078 × 106 4. Donner l’écriture scientifique de 0,078 × 10−6
5. 𝑎 = 3 × 103 𝑏 = 2 × 102 Calculer 𝑐 = 2𝑎 + 𝑏2 6. 𝑎 = 3 × 10−3 𝑏 = 2 × 10−2 Calculer 𝑐 = 𝑎2− 𝑏3 7. 𝑎 = 3 × 103 𝑏 = 2 × 102 Calculer 𝑐 =𝑎2
𝑏
8. 𝑎 = 3 × 103 𝑏 = 2 × 102 Calculer 𝑐 = 𝑎 𝑏2 9. 𝑎 = 103 𝑏 = 102 Calculer 𝑐 = 𝑎2− 𝑏2
10. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible) 𝐴 = 𝑒3+ 𝑒2 11. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐵 =𝑒5+𝑒4
𝑒4 12. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐶 = 𝑒5− 𝑒3 13. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐷 =1
𝑒+ 𝑒−1
14. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐸 =𝑒4+𝑒3
𝑒3 15. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐹 =𝑒6−𝑒4
𝑒3+𝑒4
16. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐺 = 𝑒−3× 𝑒4 17. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐻 = 𝑒7
𝑒−9 18. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐼 = (3𝑒−3)4 19. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐽 =2
𝑒× 𝑒−3 20. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐾 =3𝑒2
𝑒−3
21. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Simplifier (si possible): 𝐿 = (2 + 3𝑒3)2− (2 − 3𝑒3)2 22. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Soit 𝑛 ∈ ℤ. Simplifier (si possible) : 𝐴(𝑛) =𝑒7𝑛+2
𝑒𝑛−2
23. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Soit 𝑛 ∈ ℤ. Simplifier (si possible) : 𝐵(𝑛) = 2 𝑒4𝑛× 5 𝑒3𝑛−1 24. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Soit 𝑛 ∈ ℤ. Simplifier (si possible) : 𝐶(𝑛) = 𝑒𝑛+ 𝑒3𝑛
25. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Soit 𝑛 ∈ ℤ. Simplifier (si possible) : 𝐷(𝑛) =−3𝑒−3𝑛+2×𝑒(𝑒2𝑛+12𝑛+1−2𝑒)22𝑛+1𝑒−3𝑛+2 26. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Soit 𝑛 ∈ ℤ. Simplifier (si possible) : 𝐼(𝑛) = 𝑒3𝑛× 𝑒−𝑛
27. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Soit 𝑛 ∈ ℤ. Simplifier (si possible) : 𝐻(𝑛) = 𝑒2𝑛
𝑒3𝑛+𝑒2𝑛 28. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Soit 𝑛 ∈ ℤ. Simplifier (si possible) : 𝐺(𝑛) =𝑒𝑛−𝑒3𝑛
𝑒𝑛+1
29. Soit 𝑒 un nombre réel valant environ 2,72. Soit 𝑛 ∈ ℤ. Simplifier (si possible) : 𝐹(𝑛) =2𝑛2𝑒2𝑛+3−(𝑛2+49)𝑒2𝑛+3
(𝑛+7)2
Calculer avec des racines carrées
30. Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 entiers, 𝑏 le plus petit possible : √24 (on citera toute formule utilisée) 31. Ecrire sous la forme 𝑎√𝑏 avec 𝑎 et 𝑏 entiers, 𝑏 le plus petit possible : √54 (on citera toute formule utilisée) 32. Simplifier si possible 𝐴 = √0 + √1 + √2 + √4 + √8
33. Simplifier si possible 𝐵 = √32 + √8 34. Simplifier si possible 𝐶 = √11 − √2
35. Ecrire sans racine carrée au dénominateur 𝐷 = 5
√7
36. Ecrire sans racine carrée au dénominateur 𝐸 = 10
√7−√2
37. Ecrire sans racine carrée au dénominateur 𝐹 =√5+2
√5−2
Transformer une expression
38. Pour quelles valeurs de 𝑥, l’expression existe ? Réduire au même dénominateur puis factoriser : 𝐴(𝑥) =𝑥+3
𝑥+2− 𝑥+3
2𝑥−1
39. Pour quelles valeurs de 𝑥, l’expression existe ? Réduire au même dénominateur puis factoriser : 𝐵(𝑥) = 2 −𝑥−5
𝑥+7 40. Pour quelles valeurs de 𝑥, l’expression existe ? Réduire au même dénominateur et factoriser : 𝐶(𝑥) = 𝑥
2𝑥+3− 5𝑥
4𝑥2−9
41. Pour quelles valeurs de 𝑥, l’expression existe ? Réduire au même dénominateur et factoriser : 𝐷(𝑥) =3𝑥−2
7 − 7
3𝑥−2
42. Développer 𝐴(𝑥) = (3𝑥 − 2)3 43. Développer 𝐵(𝑥) = 4𝑥2− (3𝑥 − 4)2 44. Développer 𝐶(𝑥) = (2𝑥2− 𝑥 + 3)2 45. Développer 𝐷(𝑥) = 3𝑥 (𝑥
4− 2)2
46. Développer 𝐸(𝑥) = (√7𝑥 + 3)2 47. Développer 𝐹(𝑥) = (𝑥 + 1 − √2)2 48. Développer 𝐷(𝑥) = 3𝑥 − (𝑥
4− 2)2
49. Développer 𝐸(𝑥) = (2𝑥 − √3 − 5)2 50. Développer 𝐹(𝑥) = (6𝑥+5
7 )2− 3 51. Développer 𝐺(𝑥) = 2 −(5𝑥−4)2
7
Tableau de signes
52. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = −9𝑥 + 7 53. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = √7𝑥 + 2 54. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = −𝑥2
55. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = −(2𝑥 + 4)2 56. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 7𝑥2 57. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = 5𝑥3+ 7𝑥2 58. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = −11 + 9𝑥2 59. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) = 2−3𝑥
(1−𝑥)2
60. Dresser le tableau de signes de 𝑓(𝑥) =𝑥(9−4𝑥)(3𝑥+5)2
Substituer
61. On sait que 𝐴(𝑥) = 5𝑥2− 9𝑥 + 3 et 𝐵(𝑥) = −3𝑥 + 5. Ecrire 𝐴(𝑥) − 𝐵(𝑥) en fonction de 𝑥 62. On sait que 𝐴 = √7 − 3 et 𝐵 = 2 √7. Calculer 𝐵2− 𝐴
Résoudre
63. Résoudre (5𝑥 + 4)2 = (𝑥 − 2)2 64. Résoudre 2𝑥2= 5𝑥
65. Résoudre 7𝑥+4
𝑥+7 = 𝑥 − 45
𝑥+7
66. Résoudre 6𝑥2− 18 = 0 67. Résoudre 𝑥+27 > 𝑥 − 2 68. Résoudre 4𝑥 + 7 ≤ −𝑥 + 12 69. Résoudre −6 − 𝑥 > 3𝑥 + 7 70. Résoudre 4𝑥11≤2𝑥
4
71. Résoudre −𝑥 < 0 72. Résoudre 2−3𝑥
𝑥+5 ≥ 4 73. Résoudre 𝑥2 ≥ 25
74. Résoudre (−7𝑥 + 4)2≤ (𝑥 + 2)2 75. Résoudre 2+5𝑥𝑥+5 ≥ 𝑥
𝑥+5
76. Résoudre (𝑥+5)−𝑥+52≥ 0
77. Résoudre √2−3𝑥𝑥 ≥ 4 78. Résoudre 3+8𝑥𝑥+5 < 4 79. Résoudre 4𝑥2> 3𝑥
80. Résoudre par substitutions { −2𝑥 + 𝑦 = 6 6𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 81. Résoudre {
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = −5 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2 5𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 4
Démontrer
82. Démontrer que pour tous 𝑎 et 𝑏 dans ℝ on a : (𝑎 + 𝑏)2+ (𝑎 − 𝑏)2= 2(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + 4𝑏2 83. Démontrer que pour tous 𝑎 et 𝑏 distincts dans ] 0 ; +∞[ on a : √𝑎
√𝑏+√𝑎=𝑎−√𝑎𝑏𝑎−𝑏
84. Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −4 + 𝑥. Démontrer que : « si 𝑢 ≤ 𝑣 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓(𝑢) ≤ 𝑓(𝑣) » 85. Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥.
On considère la proposition : « si 𝑢 ≤ 𝑣 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓(𝑢) ≥ 𝑓(𝑣) ». Prouver que cette proposition est vraie.
86. Soit 𝑓 la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) =1
𝑥.
On considère la proposition « 𝑠𝑖 𝑢 ≤ 𝑣 < 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓(𝑢) ≥ 𝑓(𝑣) ». Prouver que cette proposition est un théorème.
87. On considère la proposition « 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎2 ≥ 𝑏2 ». Prouver que cette proposition est vraie.
88. Démontrer le théorème : « 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑎2≤ 𝑏2 »
89. On considère la proposition « si 0 ≤ 𝑥 alors 𝑥 ≤ 𝑥2 ». Prouver que cette proposition est fausse.
90. On considère la proposition « Si 𝑢 < 𝑣 alors 1
𝑢>1
𝑣 ». Prouver que cette proposition est fausse.
91. Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −7𝑥2+ 28𝑥 − 10. Démontrer que pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) ≤ 18 92. Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 3𝑥2+ 12𝑥 + 9. Démontrer que pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) ≥ −3
Travailler sur des inégalités
93. Soit 𝑎 et 𝑏 deux réels tels que : −5 < 𝑎 < 9 et −3 < 𝑏 < 2 Encadrer 𝑎 − 𝑏
Coordonnées
94. Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝑢⃗⃗(−3; 5) calculer ||𝑢⃗⃗||
95. Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝐾(−2; −3) 𝑒𝑡 𝐵(1; −6) calculer 𝐾𝐵 96. Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝐿(2; −3) 𝑒𝑡 𝑅(−5; 7) calculer ‖𝐿𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖
97. Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝐶 est le cercle de centre 𝑃(5; 3) passant par 𝑆(−3 ; 7). Calculer le rayon.
98. Dans un repère orthonormé, la droite 𝑑 a pour vecteur directeur 𝑢⃗⃗(−7 ; 5). Calculer sa pente.
99. Dans un repère orthonormé, la droite 𝑑 a pour pente 𝑚 = −7
3. Donner deux vecteurs directeurs de 𝑑.
100. Calculatice autorisée. Dans un repère orthonormé, la droite 𝑑 a pour pente 𝑚 =7
3. Donner une valeur approchée de l’angle que forme 𝑑 avec l’axe des abscisses.
101. Lire graphiquement les équations réduites des droites. Expliquer la lecture de 𝑑1.
102. Dans un repère orthonormé, on considère la droite 𝑑 : −5𝑥 + 7𝑦 + 50 = 0. Donner deux points de 𝑑 103. Dans un repère orthonormé, on considère la droite 𝑑 de vecteur directeur 𝑢⃗⃗(2 ; −1) passant par 𝐴(−4 ; 5)
Donner deux autre points de 𝑑
Intersections et position relatives
104. En utilisant la méthode par substitutions,
trouver les coordonnées du point d’intersection des droites 𝑑: 𝑥 − 2𝑦 + 4 = 0 et 𝑑′: 5𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 105. Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 5𝑥. Dans un repère, on note 𝐶𝑓 sa représentation graphique.
On considère 𝑑 : 4𝑥 + 𝑦 = 0. Calculer les coordonnées des points d’intersection de 𝑑 et de 𝐶𝑓. 106. Le plan est muni d’un repère. Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 4)(1 − 3𝑥).
On note 𝐶𝑓 sa représentation graphique. Trouver les points d’intersection de 𝐶𝑓 et de l’axe des ordonnées.
107. Le plan est muni d’un repère. Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 4)(1 − 3𝑥).
On note 𝐶𝑓 sa représentation graphique. Trouver les points d’intersection de 𝐶𝑓 et de l’axe des abscisses.
108. Le plan est muni d’un repère. Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = (7𝑥 + 2)2− (8𝑥 + 1)2
On note 𝐶𝑓 sa représentation graphique. Pour quelles valeurs de 𝑥, 𝐶𝑓 est-elle au-dessus de l’axe des abscisses.
109. Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 5𝑥3. Dans un repère, on note 𝐶𝑓 sa représentation graphique.
On considère 𝑑 : 𝑦 = 4𝑥. Etudier la position relative de 𝑑 et 𝐶𝑓.
Modélisation avec une fonction (on la nommera 𝒇 si besoin)
110. Le 1er janvier 2021, Ursule a placé 1 000€ sur un compte rémunéré à 2% d’intérêts composés annuels : à chaque fin d’année, le capital est augmenté de 2 %. Soit 𝑛 l’entier naturel qui donne le nombre d’année écoulée depuis le 1er janvier. On note 𝐶𝑛 le capital en euros à chaque fin d’année. Ecrire 𝐶𝑛 en fonction de 𝑛.
111. Dans un repère orthonormé, on trace la fonction 𝑓 définie sur [0 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥2
On considère le point 𝐴(0; 4). Soit 𝑀 le point de la courbe 𝐶𝑓 d’abscisse 𝑥. Ecrire 𝐴𝑀 en fonction de 𝑥
112. On veut creuser un puits. Le premier mètre coûte 100 €, le seconde 120 €, le troisième 140 €, et ainsi de suite en augmentant de 20 € à chaque mètre. On note 𝑛 le nombre de mètres creusé.
Ecrire en fonction de 𝑛 le coût du nième mètre creusé.
113. On sait que 𝑐 =3𝑎−𝑏
5 . Ecrire 𝑎 en fonction de 𝑏 et c.
Lectures graphiques
114. Soit 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 10𝑥 + 7. A la calculatrice, résoudre graphiquement 𝑓(𝑥) ≥ 0.
Expliquer la lecture par une ou deux phrases en étant très précis sur le vocabulaire utilisé.
115. Soit 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) =(1−𝑥)(𝑥+2)2
9 . A la calculatrice, résoudre graphiquement 𝑓(𝑥) = 0,2 Expliquer la lecture par une ou deux phrases en étant très précis sur le vocabulaire utilisé.
116. On considère la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 9𝑥2− 3𝑥
a) Donner les coordonnées de trois points du plan d’abscisse √7 b) Donner les coordonnées des points de la courbe d’abscisse √7 c) Donner deux autres points de 𝐶𝑓
117. On considère les fonctions 𝑓 et 𝑔 définies sur ℝ dont voici les représentations graphiques.
Par lectures graphiques, dresser les tableaux de signes de :
a) 𝑓(𝑥) b) 𝑔(𝑥)
c) 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) d) 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
e) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
118. Soit 𝑓 la fonction définie sur ℕ par : 𝑓(𝑥) = −𝑥2+ 4. Calculer 𝑓(8) et 𝑓(−3)
Equations de droites
119. Dans un repère, 𝑇(−4; −3) 𝑈(5; −4). Donner une équation cartésienne de (𝑇𝑈) 120. Dans un repère, 𝐻(11; 5) 𝑃(−2; −1). Donner l’équation réduite de (𝑃𝐻).
121. Dans un repère, 𝑊(−3; 2) 𝐻(−1; −2) 𝐶(3; 4).
Donner une équation cartésienne de la médiane issue de 𝐻 dans WHC
122. Dans un repère orthonormé, 𝑊(3; 6) 𝐻(−3; −3) 𝐶(−4; 2). Quelle est la distance de 𝐶 à (𝐻𝑊). Prouver ! 123. Dans un repère, 𝐸(−4 ; −7) 𝑤⃗⃗⃗(−7; 3)
Donner une équation cartésienne de 𝑑, la droite passant par 𝐸 et de vecteur directeur 𝑤⃗⃗⃗.
124. Dans un repère, 𝐸(4 ; 6) 𝑑: −7𝑥 + 13𝑦 − 2 = 0
Donner une équation cartésienne de 𝑑′, la droite passant par 𝐸 et parallèle à 𝑑.
125. Dans un repère, 𝑑: −7𝑥 + 13𝑦 − 2 = 0
Donner un vecteur directeur de 𝑑, la pente de 𝑑, l’équation réduite de 𝑑 126. Dans un repère, 𝐸(2 ; −3) 𝑑: 𝑦 =7
3𝑥 + 5
Donner une équation cartésienne de 𝑑′, la droite passant par 𝐸 et parallèle à 𝑑.
127. Dans un repère, 𝐸(−5 ; 3). Donner l’équation réduite de 𝑑, la droite passant par 𝐸 et de pente −6 128. Dans un repère, 𝑑: 𝑦 = −8𝑥 + √5
Donner un vecteur directeur de 𝑑, la pente de 𝑑, une équation cartésienne de 𝑑
129. Dans un repère, les droites 𝑑: 5𝑥 + 7𝑦 + 1 = 0 et 𝑑′: − 2𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0 sont-elles sécantes ou parallèles ? 130. Dans un repère, les droites 𝑑: 8𝑥 − 20𝑦 + 1 = 0 et 𝑑′: 𝑦 = 0,4𝑥 + 7 sont-elles sécantes ou parallèles ?
Compléments sur les fonctions
131. Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) =3𝑥2−5
𝑥2+1. Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de 𝑓 admet-elle l’axe des ordonnées comme axe de symétrie ?
132. Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −𝑥3− 𝑥. Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de 𝑓 admet-elle l’origine comme centre de symétrie ?
133. Soit 𝑎 et b deux réels de ]0 ; +∞ [ tels que : 𝑎 < 𝑏. Comparer 1
𝑎+ √𝑎 𝑒𝑡 1𝑏+ √𝑏. Justifier.
134. On considère la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥2. Sachant que −7 ≤ 𝑎 ≤ 10, encadrer 𝑓(𝑎).
135. Soit 𝑎 et b deux réels de ] − ∞ ; 0[ tels que : 𝑎 < 𝑏. Comparer −2
𝑎 et −2
𝑏. Justifier.
Compléments sur les coordonnées
136. Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝑢⃗⃗(4; 3) 𝑣⃗ = −𝑖⃗ + 2𝑗⃗ calculer det (𝑢⃗⃗ ; 𝑣⃗) et det (𝑣⃗ ; 𝑢⃗⃗)
137. Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝐹(4 ; −5) 𝐸(−3 ; 2) 𝐺(−1 ; −7) calculer det(𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗; 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 138. Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝐴(3; 4) 𝐵(6; 2) 𝐶(10 ; −1) Les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 sont-ils alignés ?
139. Dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝐷(17 ; 4) 𝐸(15 ; 1) 𝐹(17 ; −2) 𝐺(13 ; −8).
Les droites (𝐸𝐷) et (𝐺𝐹) sont-elles parallèles ?
140. Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝐿(−4; 2) 𝑒𝑡 𝑅(5; −7) Quelle est la pente de (𝐿𝑅) ? Donner un vecteur directeur.
141. Dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝐷(−7 ; −4) 𝐸(2; −1) 𝐹(1 ; 8) Calculer les coordonnées de −3 𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗
142. Dans un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗), 𝐷(2 ; 5) 𝐸(−3; 6).
Calculer les coordonnées de 𝑁 tel que : −2 𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 7 𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑖⃗ − 𝑗⃗
Statistiques - Probabilités calculatrice autorisée mais uniquement avec les quatre opérations + × − / et √
143. Une expérience aléatoire a pour issues possibles −3 ; 0 ; 1 ; 2. On réalise 20 fois l’expérience. Voici les résultats : Issues -3 0 1 2 1) Calculer la moyenne des résultats
Effectifs 10 3 2 5 2) Calculer la variance puis estimer l’écart-type des observations
3) On modélise l’expérience par une loi de probabilité, choisir 𝑃(−3) =12 est-il raisonnable ?
144. Dans un espace probabilisé, on considère deux événements 𝐵 et 𝐴 tels que :
𝑃(𝐴) = 0,3 ; 𝑃(𝐵) = 0,8 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,2. Calculer 𝑃(𝐴̅) ; 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵̅) ; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅) 145. Dans un espace probabilisé, on considère deux événements 𝐷 et 𝐸 tels que :
𝑃(𝐷) = 0,4 ; 𝑃(𝐸) = 0,55 𝑃(𝐷 ∪ 𝐸) = 0,7. Calculer 𝑃(𝐸̅) ; 𝑃(𝐸 ∩ 𝐷) ; 𝑃(𝐸 ∪ 𝐷̅) ; 𝑃(𝐸̅ ∩ 𝐷) 146. Une urne contient des jetons, indiscernables au toucher, de quatre sortes :
ceux qui portent un numéro et une lettre
ceux qui portent un numéro mais pas de lettre
ceux qui portent une lettre mais pas de numéro
ceux qui n’ont aucune inscription
On pioche au hasard un jeton. On considère les événements :
𝑁: "𝑙𝑒 𝑗𝑒𝑡𝑜𝑛 𝑡𝑖𝑟é 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑜"
𝐿: "𝑙𝑒 𝑗𝑒𝑡𝑜𝑛 𝑡𝑖𝑟é 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑙𝑒𝑡𝑡𝑟𝑒"
Comment noter, en n’utilisant que 𝑁 et 𝐿, les événements suivant : a) « Le jeton tiré ne porte pas de numéro »
b) « Le jeton tiré porte au moins une inscription » c) « Le jeton tiré ne porte ni numéro, ni lettre»
d) « Le jeton tiré porte soit une lettre, soit un numéro » e) « Le jeton tiré porte une lettre mais pas de numéro » f) « Le jeton tiré porte une lettre et un numéro » g) « Le jeton tiré ne porte aucune inscription »
Vecteurs … sans coordonnées
147. Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un parallélogramme. Construire le point 𝐸 tel que : 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Conjecturer puis prouver.
148. Deux points quelconques étant donnés. Soit 𝑀 le point tel que : 3 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗. Construire 𝑀. Justifier.
149. 𝐴, 𝐵, 𝐶 trois points donnés. On considère 𝑢⃗⃗ = 3 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Montrer que 𝑢⃗⃗ ne dépend pas de 𝑀.
150. Simplifier (si possible) 𝑢⃗⃗ = 3 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣⃗ = 2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 5 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑤⃗⃗⃗ = 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑡⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗
151. 𝐹𝐸𝐷𝐻 est un carré. Soit 𝐾 et 𝐺 les points tels que : 𝐸𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3
4𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4
3 𝐹𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Faire une figure. Conjecturer puis prouver.
