On n'a pas trouvé, avec les résultats habituels, de primitive de la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = 1 x En particulier l'expression des primitives de x n , n'est utilisable que pour n # -1.

Logarithme Népérien

I Définition

Remarque

On n'a pas trouvé, avec les résultats habituels, de primitive de la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = 1 x En particulier l'expression des primitives de x ⁿ , n'est utilisable que pour n # -1.

Exercice 01 (voir réponses et correction)

On considère la fonction h primitive sur ]0 ; +∞ [ de la fonction x ֏ 1

x , telle que h(1) = 0 Donner quelques propriétés immédiates de la fonction h.

Définition

La fonction qui à x associe 1

x a des primitives sur l'intervalle ]0 ; +∞ [.

Parmi ces primitives, on appelle fonction logarithme népérien, celle qui s'annule en 1.

On notera : ]0 ; +∞ [ → IR x ֏ ln x

Remarque

En admettant que l'on peut calculer l'aire sous une courbe en utilisant une primitive de la fonction, on peut remarquer que l'aire, en unités d'aires, comprise entre l'axe Ox, la courbe de la fonction inverse et les droites verticales d'équations x = 1 et x = 2 correspond à ln 2 - ln 1, c'est-à-dire que cette aire est ln 2 .

Exercice 02 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par f(x) = 1

x .

Donner les valeurs de f(1) ; f(1,1) ; f(1,2) ; f(1,3) … f(2).

On considère, dans un repère orthonormal, la courbe de la fonction f sur l'intervalle [1 ; 2].

En découpant l'intervalle [1 ; 2] en 10, approcher l'aire sous la courbe par des aires de rectangles comme ci-

dessous, et en déduire un encadrement de ln 2 .

Propriétés

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +∞ [.

Elle est dérivable sur cet intervalle, et on a ( ln x ' = 1 )

x Elle s'annule en 1, donc ln 1 = 0.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞ [.

• Pour x > 1 on a ln x > 0 • Pour 0 < x < 1 on a ln x < 0

Propriété

Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, alors la fonction composée ln(u) est dérivable sur I et on a : ( ln(u) ' = ) u'

u

Exercice 03 (voir réponses et correction)

Pour quelles valeurs de x les fonctions suivantes sont-elles définies ?

f(x) = ln (x + 3) ; f(x) = ln x + 3 ; f(x) = ln(x ² + 1) ; f(x) = x + ln x ² ; f(x) = ln 1 x + 1

Exercice 04 (voir réponses et correction) Calculer la dérivée de chacune des fonctions :

f(x) = ln (x + 3) ; f(x) = ln x + 3 ; f(x) = ln(x ² + 1) ; f(x) = x + ln x ² ; f(x) = ln 1 x + 1

Exercice 05 (voir réponses et correction) Calculer la dérivée de chacune des fonctions :

f(x) = x ln x ; f(x) = ln x + ln (x + 1) ; f(x) = ln [x(x + 1)] ; f(x) = 1

ln x ; f(x) = ln x x

II Relation fonctionnelle

Exercice 06 (voir réponses et correction)

a étant un réel strictement positif fixé, on considère la fonction F définie par F(x) = ln(ax), pour x ∈ ]0 ; +∞ [.

1°) Calculer F'(x).

En déduire que F est aussi une primitive de la fonction qui à x associe 1 x . Comment peut-on alors écrire F(x) ?

2°) En calculant F(1) de deux façons différentes, en déduire que pour tout x ∈ ]0 ; +∞ [ ln(ax) = ln a + ln x

3°) En utilisant la relation précédente, déterminer une relation entre ln 1

a et ln a.

4°) a et b étant deux réels strictement positifs, donner une relation entre ln a

b , ln a et ln b .

Propriétés

a et b étant deux réels strictement positifs, on a

• ln (a.b) = ln a + ln b • ln  

 

1

a = - ln a • ln  

 

a

b = ln a - ln b

Remarque

La fonction logarithme népérien transforme un produit en somme, un inverse en opposé et un quotient en différence.

Propriétés

a étant un réel strictement positif, et n un entier relatif, on a :

• ln(a ⁿ ) = n.ln a et • ln a = 1 2 ln a

Propriété

Si a ₁ , a ₂ , ..., a _n sont des réels strictement positifs, alors : ln (a ₁ ^x a ₂ ^x ⋯ _x a _n ) = ln a ₁ + ln a ₂ + ... + ln a _n

Exercice 07 (voir réponses et correction) Simplifier les expressions suivantes :

ln 6 - ln 2 ; ln 2 + ln 1

2 ; ln 3 - ln 9 ; ln 2 + ln 4 - ln 8 ; 1

4 ln 81 Exercice 08 (voir réponses et correction)

Simplifier les expressions suivantes :

ln 1 3 + 2 ln 3 ; ln (2 + 3 ) + ln (2 - 3 ) ; ln 1

3 + 1 - ln ( 3 - 1) Exercice 09 (voir réponses et correction)

Donner, en fonction de ln 2 et ln 5 les valeurs de : ln 10 ; ln 25 ; ln 16 ; ln 400 ; ln 2

25 ; ln 1 100 ln 5 8 ; ln 0,4 ; ln 5 ; ln 2 2 ; ln 5 10 ; ln 5 2

2 Exercice 10 (voir réponses et correction)

Écrire plus simplement : ln 5 2 + ln 2

5 ; ln 100

ln 10 ; ln 10 000 + ln 0,001 ; ln 1 2 + ln 2

3 + ln 3 4 + ln 4

5 Exercice 11 (voir réponses et correction)

a et b étant deux réels strictement positifs, donner en fonction de ln a et ln b les valeurs de : ln a

b ² ; ln a ^{3 x} b ⁵ ; ln ab ³ ; ln b ²

a ³ ; ln  

 

a b

3 ; ln a

ln ab ² ; ln ab ⁴ ln b

Exercice 12 (voir réponses et correction) Soit f définie sur [0 ; +∞ [ par f(x) = ln x ² + 1

(x + 1) ³ .

Calculer f'(x) et étudier son signe. En déduire le sens de variations de f.

Exercice 13 (voir réponses et correction) Montrer que pour tout x > 0 on a ln (x + 1) - ln x = ln

 

 

1 + 1

x

III Étude de la fonction logarithme népérien

Propriétés

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞ [.

On a

x → lim ln x = + + ∞ ∞ et x → 0 x > 0

lim ln x = - ∞ .

Tableau de variations

Remarques

• La droite d'équation x = 0 (axe Oy) est asymptote verticale quand x tend vers 0 par valeur supérieures.

• En utilisant la calculatrice on peut obtenir le tableau de valeurs ci-dessous :

x 0,01 0,1 0,2 0,5 1 2 3 5 10

ln x -4,61 -2,30 -1,61 -0,69 0 0,69 1,10 1,61 2,30

• Les valeurs approchées ln 2 ≈ 0,7 et ln 3 ≈ 1,1 sont à connaître.

Propriété

Il existe un et un seul réel noté e tel que ln e = 1. On dit que e est la base du logarithme népérien.

On a e ≈ 2,72 On a : ln e = 1

2 et ln 1 e = - 1

2 et pour tout entier n : ln (e ⁿ ) = n.

Remarque

On peut aussi obtenir e et ses puissances en utilisant la touche e ^x de la calculatrice. e correspond à e ¹ .

Courbe représentative

x 0 +∞

+∞

ln

- ∞

Remarque

• La tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur 1 (et pour équation y = x - 1)

• On peut remarquer que la croissance de la fonction ln est assez faible quand x tend vers +∞ .

En traçant simultanément la courbe de la fonction ln et la courbe de la fonction racine carrée, il semble que pour tout réel x strictement positif on ait ln x < x

Exercice 14 (voir réponses et correction) 1°) Compléter le tableau de valeurs suivants :

x 1 10 100 1000 10 ⁵ 10 ¹⁰ 10 ²⁰

ln x x

Conjecturer la valeur de

x → lim +∞ ln x x .

2°) Démontrer que pour tout réel x strictement positif on a : ln x < x (On pourra étudier la fonction h(x) = ln x - x )

3°) En déduire que pour tout x > 1, on a 0 < ln x x < 1

x

4°) En utilisant le résultat de la question précédente justifier que

x → lim +∞ ln x x = 0 .

Propriétés

x → lim +∞ ln x

x = 0 ;

x → 0 x > 0

lim x ln x = 0 et lim

x → 0

ln (1 + x) x = 1

Exercice 15 (voir réponses et correction)

Résoudre dans IR : ln x > 1 ; ln x = 2 ; ln x < - 1 ; 3 - ln x £ 0 Exercice 16 (voir réponses et correction)

Résoudre dans IR : ln x = -3 ; 2 ln (x + 1) = 0 ; 1

ln x + 1 > 0 Exercice 17 (voir réponses et correction)

Résoudre dans IR les équations :

ln(2x + 1) = 1 ; ln x ² = -1 ; ln [x(x + 1)] = 0 ; ln x + ln (x + 1) = 0 Exercice 18 (voir réponses et correction)

Résoudre dans IR les équations :

2ln x - 1 = 0 ; 2x ln x + x = 0 ; (x - 1)(1 + ln x) = 0 ; x ln(x + 2) = 0 Exercice 19 (voir réponses et correction)

Résoudre dans IR l'équation : (ln x) ² - ln x - 2 = 0 (On pourra poser X = ln x)

Exercice 20 (voir réponses et correction) Déterminer les limites suivantes :

lim x + ln x ; lim x + ln x ; lim x ln (x + 1) ; lim ln x

Exercice 21 (voir réponses et correction) Déterminer les limites suivantes :

x → lim + ∞ x

2 - ln x ; x → 0 x > 0

lim ln

 

 

1 + 1

x ;

x → lim ln + ∞

 

 

1 + 1

x ;

x → lim ln + ∞ x ² + 1 3 + 2x ²

Exercice 22 (voir réponses et correction) Déterminer les limites suivantes :

x → 0 x > 0

lim 1

x ln x ;

x → lim + ∞ 1

x ln x ; x → 0 x > 0

lim 1 - ln x x ;

x → lim + ∞ 1 - ln x x ;

x → lim + ∞ x(2 + ln x)

Exercice 23 (voir réponses et correction)

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = ln x x 1°) Étudier les limites de f en 0 et en +∞

2°) Calculer f'(x) et étudier son signe.

3°) Donner le tableau de variations de f.

4°) Tracer la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

Exercice 24 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par f(x) = ln (e + x ² ) 1°) Justifier que f est définie sur IR.

2°) Étudier les limites de f en - ∞ et en +∞

3°) Calculer f'(x) et étudier son signe.

4°) Donner le tableau de variations de f.

5°) Tracer la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

Exercice 25 (voir réponses et correction)

On considère la fonction f définie sur ]1 ; +∞ [ par f(x) = 1 x ln x 1°) Déterminer

x → 1 x > 1

lim f(x) et

x → lim ₊ ∞ f(x) .

Peut-on en déduire des asymptotes à la courbe ( C ) représentative de f ? 2°) Calculer f'(x) et étudier son signe.

3°) Donner le tableau de variations de f.

4°) Tracer la courbe ( C ) et ses asymptotes.

5°) Donner l'équation de la tangente T à ( C ) en son point d'abscisse e et tracer cette tangente.

Propriété

Toute fonction dérivable de la forme u'

u a pour primitive ln |u| sur tout intervalle où u ne s'annule pas.

Remarque

• Si u est une fonction dérivable et positive sur un intervalle I, alors u'

u a pour primitive ln u sur I.

• Si u est une fonction dérivable et négative sur un intervalle I, alors u'

u a pour primitive ln (-u) sur I.

Exercice 26 (voir réponses et correction)

Dans chacun des cas donner un intervalle sur lequel f a des primitives et déterminer une primitive de f.

f(x) = 2

2x - 3 ; f(x) = 1

3x - 5 ; f(x) = 2

3x + 1 ; f(x) = 5

5 - x

Exercice 27 (voir réponses et correction)

Dans chacun des cas donner un intervalle sur lequel f a des primitives et déterminer une primitive de f.

f(x) = 2 x

x ² + 1 ; f(x) = x

x ² - 1 ; f(x) = - 3x

2x ² + 5 ; f(x) = x + 1 x ² + 2x Exercice 28 (voir réponses et correction)

Dans chacun des cas donner un intervalle sur lequel f a des primitives et déterminer une primitive de f.

f(x) = 1

x ln x ; f(x) = ln x

x ; f(x) = 1 + 2

x + 1 + 1 (x + 1) ² Exercice 29 (voir réponses et correction)

Dans chacun des cas donner un intervalle sur lequel f a des primitives et déterminer une primitive de f.

f(x) = x ² + x + 1

x ² ; f(x) = 2x + 3 + 1

2x + 3 ; f(x) = 1 - 3

5x - 2 + 4 (5x - 2) ²

Exercice 30 (voir réponses et correction) On considère la fonction f définie par : f(x) = x ³ + x ² + 2x

(x + 1) ² pour x > - 1.

Démontrer qu'il existe des réels a ; b ; c et d tels que f(x) = ax + b + c

x + 1 + d

(x + 1) ² pour tout x > - 1 En déduire l'expression de la primitive de f qui prend la valeur 1 en 0.

Exercice 31 (voir réponses et correction)

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = (ln x) ² + ln x - 2 1°) Déterminer

x → lim +∞ f(x) et _{x →} x > 0 0

lim f(x).

2°) Calculer f'(x) et étudier son signe.

3°) Donner le tableau de variations de f.

4°) Tracer la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité 1cm.

5°) Déterminer les valeurs exactes des abscisses des points d'intersection de la courbe et de l'axe (Ox).

6°) Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 et tracer cette tangente sur le dessin.

Exercice 32 (voir réponses et correction)

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = ln x ln 10 1°) Calculer f(1) et f(10)

2°) Montrer que pour tous réels strictement positifs a et b et pour tout entier relatif n, on a f(a x b) = f(a) + f(b) ; f

 

 

1

a = - f(a) ; f

 

 

a

b = f(a) - f(b) ; f(a ⁿ ) = n f(a)

Cette fonction f est appelée fonction logarithme décimal. Expliquer ce qui peut justifier cette appellation.

Cette fonction est notée log. Il existe, sur les calculatrices, une touche correspondant à cette fonction.

3°) Déterminer x → 0 x > 0

lim f(x) et

x → lim +∞ f(x) 4°) Calculer f'(x) et étudier son signe.

5°) Donner le tableau de variations de f.

6°) Tracer la courbe représentative de f.

Justification

ln 2 est un réel strictement positif. n étant un entier ln 2 ⁿ = n ln 2 est aussi grand que l'on veut à partir du moment où n est assez grand. On en déduit que

x → lim +∞ ln x = +∞

Sachant que ln 1

x = - ln x, on peut en déduire que

x → 0 x > 0

lim ln x = - ∞

Démonstration

La fonction ln est continue et strictement croissante sur ]0 ; +∞ [ et 1 ∈ ]- ∞ ; +∞ [ , l'équation ln x = 1 a donc une solution unique dans ]0 ; +∞ [ .

A partir d'un tableau de valeurs, la calculatrice permet de donner comme valeur approché 2,72.

Pour tout entier n, ln e ⁿ = n ln e = n x 1 = n . On a : ln e = 1

2 ln e = 1

2 et ln 1

e = - ln e = - 1 2

Démonstration On pose X = 1

x lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures, X tend vers +∞ et

x → 0 x > 0

lim x ln x =

X → lim +∞ 1 X ln 1

X =

X → lim - +∞ ln X X = 0

x lim → 0

ln x - 1

x est le nombre dérivé de la fonction ln en 0.