Donner sans justification la d´eriv´ee de f d´efinie surR parf(x

Exercice 1 : Exercices classiques (10 minutes) (3 points) 1. R´esoudre e^3x+5>1

2. Calculer lim

x→+∞

e^x+ 1 x+ 3

3. Donner sans justification la d´eriv´ee de f d´efinie surR parf(x) = e^x2 Solution:

1. e^3x+5 >1⇔3x+ 5>0. S=]−⁵₃; +∞[ ; 2. Pour x6= 0, e^x+ 1

x+ 3 = ^e_x^x × 1 + e^−x 1 +³_x . Par croissance compar´ee, lim

x→+∞

e^x

x = +∞et lim

x→+∞

1 + e^−x

1 +³_x = 1. Par produit, lim

x→+∞

e^x+ 1

x+ 3 = +∞

3. f⁰(x) = 2xe^x2

Exercice 2 : ROC (20 minutes) (4 points)

1. SoientA etB deux ´ev`enements associ´es `a une exp´erience al´eatoire.

(a) Rappeler la d´efinition de l’ind´ependance de A etB.

(b) D´emontrer que, si les ´ev`enements A et B sont ind´ependants pour la probabilit´e p, alors les

´

ev`enementsA etB le sont ´egalement.

2. Application : Chaque matin de classe, Monsieur Benoit peut ˆetre victime de deux ´ev`enements ind´ependants :

• R :il n’entend pas son r´eveil sonner;

• S :Son v´elo, bien entretenu, cr`eve.

Il a observ´e que chaque jour de classe, la probabilit´e de R est ´egale 0,1 et que celle de S est ´egale

`

a 0,05. Lorsque qu’au moins l’un des deux ´ev`enements se produit, Monsieur Benoit est en retard au lyc´ee sinon il est `a l’heure.

(a) Calculer la probabilit´e qu’un jour de classe donn´e, Monsieur Benoit entende son r´eveil sonner et que son v´elo cr`eve.

(b) Calculer la probabilit´e que Monsieur Benoit soit `a l’heure au lyc´ee un jour de classe donn´e.

(c) Au cours d’une semaine, Monsieur Benoit se rend cinq fois au lyc´ee. On admet que le fait qu’il entende son r´eveil sonner un jour de classe donn´e n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les jours suivants.

Quelle est la probabilit´e que Monsieur Benoit entende le r´eveil au moins quatre fois au cours d’une semaine ? Arrondir le r´esultat `a la quatri`eme d´ecimale.

Solution:

1. Restitution organis´ee de connaissances :Voir cours 2. (a) Il faut calculerp^ÄR∩S^ä.

Les ´ev`enements R etS ´etant manifestement ind´ependants, R etS le sont aussi.

Donc p^ÄR∩S^ä=p^ÄR^ä×p(S) = (1−0,1)×0,05 = 0,9×0,05 = 0,045.

(b) Il faut que Monsieur Benoit entende son r´eveil et que son v´elo ne cr`eve pas. La probabilit´e qu’il soit `a l’heure est donc ´egale `ap^ÄR∩S^ä.

D’apr`es la propri´et´e d´emontr´ee au-dessusR etS sont ind´ependants, donc

p^ÄR∩S^ä=p^ÄR^ä×p^ÄS^ä= (1−0,1)×(1−0,05) = 0,9×0,95 = 0,855.

(c) SiX est la variable al´eatoire correspondant au nombre de fois o`u St´ephane entend son r´eveil, X suit une loi binomiale de param`etresn= 5 etp= 0,9.

La probabilit´e que Monsieur Benoit entende le r´eveil au moins quatre fois est : p(X = 4) +p(X = 5) =

Ç5 4

å

×0,9⁴×0,1 + Ç5

5 å

×0,9⁵ ×0,1⁰ = 0,5×0,9⁴+ 0,9⁵ = 0,9⁴×1,9 = 0,918 54≈0,918 5.

Exercice 3 : Une fonction particuli`ere (35 minutes) (5¹/₂ points) Soit f la fonction d´erivable, d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f(x) = e^x+ 1 x. 1. Etude d’une fonction auxiliaire´

(a) Soit la fonctiong d´erivable, d´efinie sur [0 ; +∞[ par g(x) =x²e^x−1.

Etudier le sens de variation de la fonction´ g.

(b) D´emontrer qu’il existe un unique r´eel aappartenant `a [0 ; +∞[ tel queg(a) = 0.

D´emontrer queaappartient `a l’intervalle [0,703 ; 0,704[.

(c) D´eterminer le signe deg(x) sur [0 ; +∞[.

2. Etude de la fonction´ f

(a) D´eterminer les limites de la fonctionf en 0 et en +∞.

(b) On note f⁰ la fonction d´eriv´ee de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

D´emontrer que pour tout r´eel strictement positif x, f⁰(x) = g(x) x² .

(c) En d´eduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

(d) D´emontrer que la fonctionf admet pour minimum le nombre r´eel m= 1

a² + 1 a.

(e) Justifier que 3,43< m <3,45.

Solution: Soitf la fonction d´erivable, d´efinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ parf(x) = e^x+1 x. 1. Etude d’une fonction auxiliaire´

(a) Soit la fonctiong d´erivable, d´efinie sur [0 ; +∞[ parg(x) =x²e^x−1.

Pour tout r´eelx de [0 ; +∞[ :g⁰(x) = 2xe^x+x²e^x= e^x 2x+x²= x(x+ 2)e^x>0 sur ]0 ; +∞[ carx>0, x+ 2>2>0 et e^x>0.

La fonctiong est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

(b) g(0) =−1<0 et g(1) = e−1>0.

gest continue et strictement croissante sur [0; +∞[,g(0) =−1 et lim

x→+∞g(x) = +∞. D’apr`es le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires,g(x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [0; +∞[

g(0,703)≈ −0,0018<0 etg(0,704)≈0,002>0 donc a∈[0,703 ; 0,704].

(c) D’apr`es le tableau de variations deg : •g(x)<0 sur [0 ;a[

•g(x)>0 sur ]a; +∞[

2. Etude de la fonction´ f

(a) lim

x→0e^x = 1 limx→0

x>0

1

x = +∞











=⇒ lim

x→0 x>0

e^x+ 1

x = +∞=⇒ lim

x→0 x>0

f(x) = +∞

x→+∞lim e^x= +∞

x→+∞lim 1 x = 0







=⇒ lim

x→+∞e^x+1

x = +∞=⇒ lim

x→+∞f(x) = +∞

(b) On note f⁰ la fonction d´eriv´ee de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

f(x) = e^x+1

x =⇒f⁰(x) = e^x− 1

x² = x²e^x−1

x² = g(x) x²

(c) Pour toutx de ]0 ; +∞[,x²>0 doncf⁰(x) est du signe de g(x).

On dresse le tableau de variation de f : x

g(x) f⁰

f

0 a +∞

− 0 +

− 0 +

+∞

+∞

f(a) f(a)

+∞

+∞

(d) D’apr`es son tableau de variation, la fonctionf admet le nombre f(a) comme minimum sur son intervalle de d´efinition.

f(a) = e^a+ 1

a. Or aest la solution de l’´equation g(x) = 0 donc g(a) = 0 ⇐⇒ a²e^a−1 = 0 ⇐⇒ a²e^a= 1 ⇐⇒ e^a= 1

a². On en d´eduit que f(a) = 1

a² +1

a et on a donc d´emontr´e que la fonction f admettait pour minimum sur ]0 ; +∞[ le nombre r´eel m= 1

a² +1 a. (e) On a successivement(en valeurs approch´ees) :

0,703< a <0,704 0,4942< a² <0,4957

1

0,4957 < 1

a² < 1 0,4942 2,017< 1

a² <2,024

0,703< a <0,704 1

0,704 < 1

a < 1 0,703 1,420< 1

a <1,423

donc par somme : 2,017 + 1,420< 1 a² +1

a <2,024 + 1,423 et donc : 3,43< m <3,45

Exercice 4 : Probabilit´es (35 minutes) (5¹/₂ points) Dans un restaurant on propose trois menus : A, B et C

Le menu A est compos´e d’une entr´ee et d’un plat, le menu B est compos´e d’un plat et d’un dessert et le menu C est compos´e d’une entr´ee, d’un plat et d’un dessert.

Le client peut-ensuite prendre s’il le souhaite un verre de vin.

On a remarqu´e que la moiti´e des clients prend le menu A, ₁₀³ le menu B et les autres le menu C.

Parmi les clients qui prennent le menu A, ²₃ prennent aussi un verre de vin.

Parmi les clients qui prennent le menu B, ¹₃ prennent aussi un verre de vin.

Sur l’ensemble des clients, 10% prennent le menu C et un verre de vin.

On choisit au hasard un client du restaurant.

On appelle A : choisir un client qui a pris le menu A, B : choisir un client qui a pris le menu B, C :choisir un client qui a pris le menu Cet V choisir un client qui a pris un verre de vin.

1. Donner P(C) et P(C∩V). En d´eduireP_C(V). Compl´eter l’arbre de probabilit´e ci-joint.

A

V V¯ B

V V¯ C

V V¯

2. D´eterminer P(A∩V).

3. Montrer queP(V) = ₁₅⁸

4. On choisit une personne ayant pris un verre de vin. Quelle est la probabilit´e qu’il ait choisit le menu B ?

5. On admet que le menu A coˆute 14 euros, le menu B coˆute 16 euros, le menu C 20 euros et le verre de vin est `a 4 euros.

Soit X la variable al´eatoire correspondant au prix pay´e par un client.

(a) Donner les valeurs prises par X.

(b) Compl´eter le tableau ci-dessous :

xi 14

P(X=x_i) 1 6

(c) Quel est le prix moyen que le restaurateur peut esp´erer par client ? Solution:

1. P(C) = 1−P(A)−P(B) = ¹₅.P(C∩V) = ₁₀¹, doncPC(V) = ^P_P^(C∩V_(C)⁾ = ¹₂

A

V

2 3

V¯

1 3 21

B

V

1 3

V¯

2 3 3

10

C

V

1 2

V¯

1 2

15

2. P(A∩V) =P(A)×P_A(V) = ¹₂× ²₃ = ¹₃.

3. A, B etC forment un syst`eme complet d’´ev´enement, selon les formules des probabilit´es totales, on a

P(V) =P(A)×P_A(V) +P(B)×P_B(V) +P(C)×P_C(V) = 1 3+ 1

10 + 1 10 = 5

15+ 3 30 + 3

30 = 8 15. 4. P_V(B) = P(B∩V)

P(V) =

1 10

8 15

= ₁₆³

La probabilit´e qu’une personne ayant pris un verre de vin ait choisit le menu B est ₁₆³. 5. (a) X prend les valeurs 14,16,18,20,24

(b)

xi 14 16 18 20 24

P(X=xi) 1 6

1 5

1 3

1 5

1 10 (c) E(x) = ²⁶⁹₁₅ Le prix moyen que le restaurateur peut esp´erer est ²⁶⁹₁₅

Exercice 5 : Prises d’initiatives (15 minutes) (2¹/₂ points) Soient f etg les fonctions d´efinies sur l’ensemble Rdes nombres r´eels par

f(x) = e^x et g(x) = e^−x.

On noteC_f la courbe repr´esentative de la fonctionf etC_g celle de la fonctiongdans un rep`ere orthonorm´e du plan.

Pour tout r´eela, on noteM le point de C_f d’abscisse aetN le point deC_g d’abscisse a.

La tangente enM `a C<sub>f</sub> coupe l’axe des abscisses en P, la tangente enN `aC_g coupe l’axe des abscisses en Q.

On a repr´esent´e la situation pour diff´erentes valeurs de a et on a relev´e dans un tableur la longueur du segment [P Q] pour chacune de ces valeurs dea.

−1 1

1 2

0 f

g

M

N b

c

Q P

A B

1 Abscissea LongueurP Q

2 −2 2

3 −1,5 2

4 −1 2

5 −0,5 2

6 0 2

7 0,5 2

8 1 2

9 1,5 2

10 2 2

Les questions 1 et 2 peuvent ˆetre trait´ees de mani`ere ind´ependante.

1. D´emontrer que la tangente en M `aC<sub>f</sub> est perpendiculaire `a la tangente enN `a C_g. 2. (a) Que peut-on conjecturer pour la longueur P Q?

(b) D´emontrer cette conjecture.

Solution:

1. — La tangente en M `a C_f a pour coefficient directeur f⁰(a) = e^a, et a pour vecteur directeur

~u(1 ; e^a).

— La tangente enN `aC_g a pour coefficient directeurg⁰(a) =−e^−a, et a pour vecteur directeur

~v(1 ; −e^−a).

On a~u·~v= 1×1 + e^a×(−e^−a) = 1−e^a−a= 1−1 = 0. Les vecteurs ~u et~v sont orthogonaux, donc les deux droites sont perpendiculaires.

2. (a) On peut conjecturer que, pour tout r´eela,P Q= 2.

(b) — D´etermination de P. La tangente enM `a C_f a pour ´equation : y= e^a(x−a) + e^a.

P est un point de cette droite, d’ordonn´ee 0 et d’abscisse xP, on a donc :

0 = e^a(xP −a) + e^a⇐⇒e^a(xP −a) =−e^a⇐⇒xP −a=−1⇐⇒xP =a−1.

Ainsi le pointP a pour coordonn´ees P(a−1 ; 0).

— D´etermination de Q. La tangente enN `aC_g a pour ´equation : y=−e^−a(x−a) + e^−a.

Qest un point de cette droite, d’ordonn´ee 0 et d’abscisse xQ, on a donc :

0 =−e^−a(xQ−a) + e^−a⇐⇒e^−a(xQ−a) = e^−a⇐⇒xQ−a= 1⇐⇒xQ=a+ 1.

Ainsi le pointQa pour coordonn´eesQ(a+ 1 ; 0).

— Calcul de P Q. Les points P etQ´etant situ´es sur l’axe des abscisses, la distance entre ces deux points est donn´ee par :

P Q=|x_P −xQ|=|(a−1)−(a+ 1)|=|a−1−a−1|=|−2|= 2.

La conjecture est d´emontr´ee.